Transformationsformel

08.02.2012, 09:17

keks89

Auf diesen Beitrag antworten »

Transformationsformel

Hallo zusammen,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

"Gegeben seien die Hyperbeln $\begin{eqnarray*} y_1=1/x, y_2=4/x \end{eqnarray*}$ ,
sowie die Geraden $\begin{eqnarray*} y_3=4x, y_4=9x \end{eqnarray*}$ .

Die vier Kurven begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche B.

Berechne nun das Integral $\begin{eqnarray*} \iint_B f(x,y) dx dy \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^3 y \end{eqnarray*}$ folgendermaßen:

(a) Zeige für die Koordinatentransformation

$\begin{eqnarray*} T\binom{u}{v} = \binom{x}{y} = \binom{uv}{v/u} \end{eqnarray*}$

- (i) Sie ist umkehrbar auf dem offenen ersten Quadranten (gib die Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ an).
- (ii) Sie ist stetig differenzierbar auf dem offenen ersten Quadranten.
- (iii) Hyperbeln wie $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ werden auf Geraden abgebildet (welche Form haben diese Geraden?)
- (iv) Geraden wie $\begin{eqnarray*} y_3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y_4 \end{eqnarray*}$ werden auf Geraden abgebildet (welche Form haben diese Geraden?)
- (v) Die Abbildung ist bijektiv.

(b) Gib den neuen Integrationsbereich $\begin{eqnarray*} T^{-1}(B) =: B' \end{eqnarray*}$ in Mengenschreibweise an.

(c) Berechne das Integral mit Hilfe der Transformationsformel."

Meine Fragen sind folgende:

Zu (a)(i): Sehe ich das richtig, dass die Umkehrabbildung dann $\begin{eqnarray*} T^{-1} \binom{u}{v}=... \end{eqnarray*}$ sein muss? (u und v sind die Steigungen von $\begin{eqnarray*} y_{1,2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y_{3,4} \end{eqnarray*}$ )
Zu (a)(ii) Wie zeige ich das denn?
(a)(iii) und (iv) klar.
(a)(v) Wie mache ich das am geschicktesten?

Zu (b): Hier muss man ja nur die Grenzen von u und v finden, oder?

Zu (c): In einem Beispiel aus dem Tutorium haben wir hier erst die Determinante von der Jakobi-Matrix J(x,y) berechnet und dann eben nach der Transformationsformel für Integrale folgendermaßen integriert:
$\begin{eqnarray*} \iint_B' f(u,v) |J(x,y)| du dv \end{eqnarray*}$
Stimmt das so und muss ich das auch einfach nur anwenden, oder?

So, ich hoffe das war nicht zu viel auf einmal... ^^

Danke schonmal für eure Antworten! =)

08.02.2012, 19:50

keks89

Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner da, der mir helfen kann? =(

08.02.2012, 21:15

ThomasL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel

Zitat:

Original von keks89
Meine Fragen sind folgende:

Zu (a)(i): Sehe ich das richtig, dass die Umkehrabbildung dann $\begin{eqnarray*} T^{-1} \binom{u}{v}=... \end{eqnarray*}$ sein muss?

$\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ wirkt auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} T^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}= ... \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zu (a)(ii) Wie zeige ich das denn?

zeigen, dass die partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ existieren und stetig sind (im offenen ersten Quadranten)

Zitat:

(a)(v) Wie mache ich das am geschicktesten?

hat man eigentlich schon in (i) gezeigt mit der Umkehrabbildung

Zitat:

Zu (b): Hier muss man ja nur die Grenzen von u und v finden, oder?

ja, und dann $\begin{eqnarray*} B' \end{eqnarray*}$ als Menge angeben

Zitat:

Zu (c): In einem Beispiel aus dem Tutorium haben wir hier erst die Determinante von der Jakobi-Matrix J(x,y) berechnet und dann eben nach der Transformationsformel für Integrale folgendermaßen integriert:
$\begin{eqnarray*} \iint_{B'} f(u,v) |J(x,y)| du dv \end{eqnarray*}$
Stimmt das so und muss ich das auch einfach nur anwenden, oder?

richtig

08.02.2012, 21:38

keks89

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel
Okay, ich häng grad beim vermutlich einfachsten Schritt, der Rest hat eigentlich gut geklappt... Wie komm ich hier auf die Umkehrabbildung? Oder stimmt das so wie ichs hier gemacht hab:

y=v/x <=> v=yx
und
y=ux <=> u=y/x

Dann ist v = ux² <=> x=sqrt(v/u).

Und dann ist y = ux = sqrt(vu).

Passt das?

08.02.2012, 22:00

ThomasL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel
ich verstehe nicht, was du gerechnet hast. Für die Umkehrabbildung hat man die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} uv=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{v}{u}=y \end{eqnarray*}$

(wo $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ gegeben sind) und muss nach $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ auflösen

08.02.2012, 22:16

keks89

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel
Achja, genau falschrum, sorry...

u=sqrt(x/y)
v=sqrt(xy)

=> $\begin{eqnarray*} T^{-1} \binom{x}{y} = \binom{u}{v} = \binom{\sqrt{x/y}}{\sqrt{xy}} \end{eqnarray*}$

Passt das?

Anzeige

08.02.2012, 22:18

ThomasL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel
richtig Freude

Freude

08.02.2012, 22:29

keks89

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel
Okay, bei (a)(ii) leite ich dann einfach $\begin{eqnarray*} T\binom{u}{v} \end{eqnarray*}$ nach u und v ab, oder?

Und bei (a)(iii) hab ich grad festgestellt, dass es doch nich so klar ist... wie genau setz ich da denn in T ein, um das zu zeigen?

08.02.2012, 22:59

ThomasL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel

Zitat:

Original von keks89
Okay, bei (a)(ii) leite ich dann einfach $\begin{eqnarray*} T\binom{u}{v} \end{eqnarray*}$ nach u und v ab, oder?

genauer gesagt die beiden Komponenten von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ je nach u und v partiell ableiten

Zitat:

Und bei (a)(iii) hab ich grad festgestellt, dass es doch nich so klar ist... wie genau setz ich da denn in T ein, um das zu zeigen?

geht es in der Aufgabenstellung hier wirklich um das Bild unter $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ (und nicht $\begin{eqnarray*} T^{-1}) \end{eqnarray*}$ ? Das ist mir nicht klar aus der Formulierung.
Denn wir wollen herausfinden, wie der neue Integrationsbereich aussieht, und das ist ja $\begin{eqnarray*} T^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

Ich hätte mir jetzt überlegt: ein Punkt auf einer Hyperbel $\begin{eqnarray*} y=a/x \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ ) hat die Form $\begin{eqnarray*} (x, a/x) \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} T^{-1}\Big(x,\frac{a}{x}\Bigr)=\Bigl(\frac{x}{\sqrt{a}}, \sqrt{a}\Bigr) \end{eqnarray*}$
das liegt auf der Geraden $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ , und somit wird die Hyperbel $\begin{eqnarray*} y=a/x \end{eqnarray*}$ auf diese Gerade abgebildet.
So haben wir die ersten beiden Randkurven des neuen Bereichs, wenn man $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=4 \end{eqnarray*}$ nimmt

08.02.2012, 23:20

keks89

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel
Ja, den Gedanken hatte ich auch schon, aber war mir eben unsicher, ob das vielleicht auch anders geht und dann mehr der Aufgabenstellung entspricht... Okay, dann wäre das auch geklärt...

Noch eine letzte Frage: Wie mach ich das dann bei der (b) um die Grenzen für y_1 und y_2 rauszukriegen? Ist das einfach u_1=1, u_2=4 und v_1=4, v_2=9?

08.02.2012, 23:40

keks89

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel
Und noch was zur (c):

Ich mach ja $\begin{eqnarray*} \iint_{B'} f(u,v) |J(x,y)| du dv \end{eqnarray*}$ , die frage die sich dabei stellt ist, ob ich bei f(u,v) einfach x=uv und y=v/u einsetze oder ob ich da was anderes machen muss... Wenn ich das nämlich einfach einsetze krieg ich

$\begin{eqnarray*} \int_1^4 \int_4^9 2 v^5 u du dv = ... > 44000 \end{eqnarray*}$

und da kann irgendwas nich stimmen...

Und das Ergebnis soll zwischen 1 und 2 liegen...

08.02.2012, 23:43

ThomasL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel

Zitat:

Original von ThomasL

$\begin{eqnarray*} T^{-1}\Big(x,\frac{a}{x}\Bigr)=\Bigl(\frac{x}{\sqrt{a}}, \sqrt{a}\Bigr) \end{eqnarray*}$
das liegt auf der Geraden $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

sorry, hier sollte es heissen $\begin{eqnarray*} v=\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ bildet ja in die $\begin{eqnarray*} (u,v) \end{eqnarray*}$ -Ebene ab.

somit haben wir die beiden Halbgeraden $\begin{eqnarray*} v=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=2 \end{eqnarray*}$ (im ersten Quadranten).
Die beiden anderen Randkurven findet man analog: gesucht ist das Bild einer Geraden $\begin{eqnarray*} y=ax \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} T^{-1}(x, ax)=\Big(\frac{1}{\sqrt{a}}, \sqrt{a}\, x\Bigr) \end{eqnarray*}$ , also die Halbgerade $\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$

08.02.2012, 23:55

ThomasL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel

Zitat:

Original von keks89
Und noch was zur (c):

Ich mach ja $\begin{eqnarray*} \iint_{B'} f(u,v) |J(x,y)| du dv \end{eqnarray*}$ , die frage die sich dabei stellt ist, ob ich bei f(u,v) einfach x=uv und y=v/u einsetze

ja, wobei es $\begin{eqnarray*} J(u,v) \end{eqnarray*}$ sein sollte

Zitat:

Wenn ich das nämlich einfach einsetze krieg ich

$\begin{eqnarray*} \int_1^4 \int_4^9 2 v^5 u du dv = ... > 44000 \end{eqnarray*}$

und da kann irgendwas nich stimmen...

Und das Ergebnis soll zwischen 1 und 2 liegen...

die Grenzen stimmen hier noch nicht, und beim Integranden habe ich auch was anderes

08.02.2012, 23:58

keks89

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel
Jo, die Grenzen haben sich ja durch die (b) verändert, aber was hast du für nen Integranden? Und wie kommst du auf ihn?

09.02.2012, 00:12

ThomasL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel
sorry ich hatte einen Fehler, erhalte jetzt auch deinen Integranden, und zwar

$\begin{eqnarray*} \int_{1/3}^{1/2} \int_1^2 2uv^5\, dv\, du \end{eqnarray*}$

09.02.2012, 00:17

keks89

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel
Gut, dann wars das! ^^ Vielen vielen Dank, warst eine große Hilfe! =)

Gute Nacht!

09.02.2012, 00:19

ThomasL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Transformationsformel
gern geschehen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »