Tschebyschev-Ungleichung und Normalverteilung; Fehler in meiner Aufgaben Lösung?

08.02.2012, 12:49

Philipp24

Tschebyschev-Ungleichung und Normalverteilung; Fehler in meiner Aufgaben Lösung?

Meine Frage:
Hallo,

ich bekomme zu einer Aufgabe, wo ich die Tschebyschev-Ungleichung benutzen muss eine falsche Lösung und ich finde meinen Fehler nicht.
Deshalb bitte ich euch um Hilfe.

Aufgabe:

Die Länge X einer Schraubensorte sei N(10,0.25) verteilt (Normalverteilt).
# Man berechne g mit der Tschebyschev-Ungleichung so, dass das Intervall I = [10-g,10+g] die zufällige Länge X mit Warscheinlichkeit größer als 95% enthält!

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} P(|X-10| > g)\leq \frac{Var(X)}{g^{2}} \Leftrightarrow P(|X-10| \leq g)\geq 1-\frac{Var(X)}{g^{2}} \Rightarrow 1-\frac{Var(X)}{g^{2}}=0,95 \Leftrightarrow g = \frac{\sqrt{Var(X)}}{\sqrt{0,05}} \Leftrightarrow g = \frac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{0,05}} = 1,118 \end{eqnarray*}$

Allerdings wenn ich g jetzt einsetzte komme ich auf eine falsche Lösung:

$\begin{eqnarray*} P(8,882 < X < 11,118) = \phi(\frac{11,118-10}{0,25}) - \phi(\frac{8,882-10}{0,25}) = 2\phi(4,472) - 1 \end{eqnarray*}$

Aber die Normalverteilung für 4,472 ist nicht definiert wenn ich das recht sehe, bzw ist 100%?

Auf einen anderem Weg ohne Tschebyschev-Ungleichung bekomme ich folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} P(10 - g < X < 10 + g) = \phi(\frac{10 +g -10}{0,25}) - \phi(\frac{10 - g - 10}{0,25}) = \phi(\frac{+g}{0,25}) - \phi(\frac{- g}{0,25}) = 2\phi(\frac{g}{0,25}) -1 \Rightarrow 0,95 = 2\phi(\frac{g}{0,25}) -1 \Leftrightarrow 0,975 = \phi(\frac{g}{0,25}) \Rightarrow 1,96 = \frac{g}{0,25} \Rightarrow g = 0,49 \end{eqnarray*}$

Was mache ich bei der Tschebyschev-Ungleichung falsch?

Gruß

Philipp24

08.02.2012, 13:14

René Gruber

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Da sind eine ganze Menge Rechenfehler in deinen Ausführungen, z.B. hier

Zitat:

Original von Philipp24
$\begin{eqnarray*} g = \frac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{0,05}} = 1,118 \end{eqnarray*}$

überprüf das alles nochmal! Z.B. hast du bei der Standardisierung mit $\begin{eqnarray*} \sigma=0.25 \end{eqnarray*}$ statt mit dem richtigen $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{0.25}=0.5 \end{eqnarray*}$ gerechnet...

Generell ist es aber tatsächlich so, dass mit der "Probe" über die Normalverteilung nicht wieder die 95% rauskommen, sondern mehr: Das Ding heißt aus gutem Grund nicht Tschebyscheff-Gleichung, sondern Tschebyscheff-Ungleichung.

Du hast an diesem Beispiel gelernt, dass es eben tatsächlich eine echte Ungleichung ist.

08.02.2012, 13:34

Philipp24

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Sry ich hab mich hier mit der Wurzel vertan (beim abschreiben meiner Lösung hier her), aber das Ergebnix 1,118 sollte soweit stimmt.

Zitat:

Original von Philipp24
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow g = \frac{\sqrt{Var(X)}}{\sqrt{0,05}} \Leftrightarrow g = \frac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{0,05}} = 1,118 \end{eqnarray*}$

So sollte es richtig sein:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow g = \frac{\sqrt{Var(X)}}{\sqrt{0,05}} \Leftrightarrow g = \frac{\sqrt{\sigma^{2}}}{\sqrt{0,05}} \Leftrightarrow g = \frac{0,25}{\sqrt{0,05}} = 1,118 \end{eqnarray*}$

Ist denn sonst alles soweit richtig?
Mir kommt es nämlich immer noch so komisch vor das die Lösungen so weit von einander abweichen.

08.02.2012, 13:47

René Gruber

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Zitat:

Original von Philipp24
Mir kommt es nämlich immer noch so komisch vor das die Lösungen so weit von einander abweichen.

Tschebyscheff ist keine "feingetunte" Ungleichung, sondern ein grober Holzhammer, mehr für Beweise geeignet, wenn man die genaue Verteilung nicht kennt. Tschebyscheff zur Berechnung von Wahrscheinlichkeit zu verwenden, obwohl man die genaue Verteilung kennt, ist eigentlich ziemlich sinnfrei.

P.S.: Wenn man eine Normalverteilung mit Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma=0.25 \end{eqnarray*}$ betrachtet, schreibt man gewöhnlich nicht $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(10,0.25) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(10,0.25^2) \end{eqnarray*}$ - allgemein eben $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ und damit nicht $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma) \end{eqnarray*}$ .

Das tatsächliche $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(10,0.25)=\mathcal{N}(10,0.5^2) \end{eqnarray*}$ entspricht nämlich einer Standardabweichung von $\begin{eqnarray*} \sigma=0.5 \end{eqnarray*}$ , und darauf bezog sich dann auch meine Anmerkung!

08.02.2012, 14:31

Philipp24

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Das wusste ich leider nicht, das es da verschiedene Angaben der Normalverteilung gibt...
Unser Prof hat leider nur die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma) \end{eqnarray*}$ benutzt und angewendet.
Aber wie auch auf Wiki zu sehen ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ die gängige Schreibweise.
Also habe ich Heute noch mehr gelernt ;-)

Danke für deine Erklärung und deine Anmerkungen Freude

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