Supremum zweier Mengen

08.02.2012, 13:17	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum zweier Mengen Guten Tag, ich hab mich an der folgenden Aufgabe probiert: Sei K ein angeordneter Körper und $\begin{eqnarray} A,B \subseteq K \end{eqnarray}$ , so dass sup(A) und sup(B) existieren. Wir setzen $\begin{eqnarray} A+B:= \left\{ a+b \| a\in A, b \in B\right\} \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie, dass auch sup(A+B) existiert und sup(A+B) = sup(A) + sup(B) gilt. Nun da sup(A) und sup(B) existieren, gilt für alle Elemente x aus A+B: $\begin{eqnarray} x = a+b \leq sup(A) + sup(B) \end{eqnarray}$ . Somit ist A+B beschränkt also existiert sup(A+B). Setze s:= sup(A+B). Nun muss nur noch folgendes gezeigt werden: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \exists x \in A+B: s - \epsilon < x \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ beliebig. Dann existiert ein $\begin{eqnarray} x \in A+B \end{eqnarray}$ , so dass gilt: $\begin{eqnarray} x > sup(A) - \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x > sup(B) - \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray}$ . Dann gilt aber auch: $\begin{eqnarray} x = a+b > sup(A) + sup(B) - \epsilon \end{eqnarray}$ . d.h s = sup(A) + sup(B). Stimmt das so? Schönen Gruß, DerJoker
08.02.2012, 15:46	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
push
08.02.2012, 20:02	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dränge ungerne. Hat denn niemand eine Idee? Schönen Gruß, DerJoker
08.02.2012, 20:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wüsste nicht, wieso jemand eine Idee haben sollte - der Beweis steht ja schon richtig da Edit: Kleine Anmerkung - du kannst bei dem Epsilon-Beweis nicht zwei verschiedene x wählen. Was du aber vermutlich meintest ist du wählst a und b und addierst sie zu x auf. Dann passt es.
09.02.2012, 08:22	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Vielen Dank

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