Induktion letzter schritt

08.02.2012, 13:46

Vincent17201

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Induktion letzter schritt

Meine Frage:
Kann mir jemand bei dem Ende der folgenden Induktion helfen ?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ >= $\begin{eqnarray*} && 1 +\frac{n}{2} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen dass :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ >= $\begin{eqnarray*} && 1 +\frac{n+1}{2} \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich das $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ im letzten Bruch weg ?

Meine Ideen:
Ich bin soweit:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ >= $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}+\frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ >= $\begin{eqnarray*} 1+\frac{n}{2}+\frac{1}{2*2^n} \end{eqnarray*}$

08.02.2012, 14:03

Mulder

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RE: Induktion letzter schritt

Zitat:

Original von Vincent17201
Ich bin soweit:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ >= $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}+\frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Vorsicht! So ist das falsch! Da kommt nicht nur ein Summand hinzu, sondern mehrere.

Beispiel: Für n=2 geht die Summe von 1 bis 2^2, also von 1 bis 4. Macht man dann den Induktionsschritt, geht man von 1 bis 2^(2+1)=2^3, also von 1 bis 8. Genau genommen verdoppelt sich die Anzahl der Summanden, denn 2^(n+1)=2*2^n.

Das heißt, im IS kommen bei dir 2^n Summanden hinzu.

08.02.2012, 14:15

Vincent17201

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Ah tatsächlich , das habe ich übersehen.

Muss ich dann 2 mal den selben Summanden "rausziehen" ?

08.02.2012, 14:19

klarsoweit

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RE: Induktion letzter schritt
Nein, du mußt dir überlegen, welche Summe die Differenz zwischen
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ist.

08.02.2012, 14:38

Vincent17201

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^3}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^2}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

so mit konkreten Zahlen verstehe ich das schon , aber konkret auf das Induktionsbeispiel tu ich es mir gerade schwer unglücklich

unglücklich

08.02.2012, 14:48

klarsoweit

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RE: Induktion letzter schritt
Jetzt mußt du das nur noch verallgemeinern und überlegen, welche Summanden du zu $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ noch hinzu tun mußt, damit du auf $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ kommst.

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08.02.2012, 15:34

Vincent17201

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^{n}}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +\frac{1}{{2^n}+1}+ .... +\frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Ich komm einfach nicht ganz drauf hmmm

08.02.2012, 15:43

Mulder

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Stimmt doch soweit wohl. Wir wissen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} \geq 1+ \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$

Und gezeigt werden soll:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k} \geq 1+ \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das kann man zeigen, wenn man zeigen kann, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Nun hast du schon rausgefunden:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k} = \frac{1}{{2^n}+1}+ .... +\frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Versuch mal, diese Summe passend abzuschätzen. Die soll ja größer als 1/2 sein.

Vielleicht gehst du nochmal zurück zu dem Beispiel mit 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8. Auch das ist alles zusammen addiert größer als 1/2. Abschätzen! Wenn du das Schema da findest, findest du es auch sicher beim Allgemeinen Fall.

08.02.2012, 16:11

Vincent17201

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Naja die Grenzwerte der einzelnen Summanden der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ gehen für n--> unendlich gegen 0.... Aber es werden auch immer mehr Summanden (2^n) addiert.

Inwiefern ich die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

abschätzen kann , so dass sie größergleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ bleibt weiß ich jetzt gerade nicht

08.02.2012, 17:36

Mulder

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Zitat:

Original von Mulder
Vielleicht gehst du nochmal zurück zu dem Beispiel mit 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8.

Wie würdest du zeigen, dass das größer als 1/2 ist?

08.02.2012, 17:41

Vincent17201

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einfach ausrechnen ^^

08.02.2012, 17:44

Mulder

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Sehr hilfreich.

Fällt dir vielleicht auch eine andere Möglichkeit ein? Wir wollen hier doch auf Abschätzungen hinaus.

08.02.2012, 17:52

Vincent17201

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Also bei der Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}=\frac{1}{{2^n}+1}+...+\frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

hätte ich den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sum_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ gebildet.

Sry, das das immer solange dauert... ich muss die Sachen erst in "latex" schreiben.. das dauert etwas

Im Bsp. mit den konkreten Zahlen , hätte ich es tatsächlich einfach ausgerechnet :/

08.02.2012, 19:13

Mulder

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Zitat:

Original von Vincent17201
hätte ich den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sum_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ gebildet.

Da hätte ich drei Fragen:

1) Wie willst du das machen?

2) Was soll das bringen?

3) Was hat das mit dem zu tun, was ich dich gefragt habe?

Was ich eigentlich meinte, ist folgende Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} + \frac{1}{6} +\frac{1}{7}+\frac{1}{8} \geq \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

Übertrag das auf den allgemeinen Fall.

08.02.2012, 19:35

Vincent17201

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n+1}+....+\frac{1}{2^{n+1}}\geq\frac{1}{2^{n+1}}+....+\frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

so ??

08.02.2012, 19:36

Mulder

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Ja, ist doch offensichtlich, dass das gilt.

Wie hilft uns das nun?

08.02.2012, 19:47

Vincent17201

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Ich würde sagen im rechten Term sind nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ aufaddiert , im linken Term steht im ersten Glied im Nenner schon $\begin{eqnarray*} 2^{n}+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n}+1}\geq\frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

08.02.2012, 19:52

Mulder

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Zitat:

Original von Vincent17201
Ich würde sagen im rechten Term sind nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ aufaddiert , im linken Term steht im ersten Glied im Nenner schon $\begin{eqnarray*} 2^{n}+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n}+1}\geq\frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Das wussten wir alles schon.

Berechne die "rechte Seite".

Ich hab so langsam auch dein Eindruck, dass du gar nicht mehr im Auge hast, was du eigentlich machen sollst/willst. Nie das Ziel aus den Augen verlieren!

08.02.2012, 20:03

Vincent17201

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Naja ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n+1}+...+\frac{1}{2^{n+1}}\geq\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Aber inwiefern die aufsummierten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n+1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sind ist mir ein Rätsel.

Wenn ich das gezeigt habe , ist ja das Ziel erreicht.

08.02.2012, 20:05

Mulder

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Zitat:

Original von Vincent17201
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n+1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Wieviele Summanden sind das denn insgesamt? Das weißt du, das habe ich dir schon gesagt!

08.02.2012, 20:06

Vincent17201

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$\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$

08.02.2012, 20:07

Mulder

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Also kannst du das doch ausrechnen!

08.02.2012, 20:21

Vincent17201

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$\begin{eqnarray*} 2^{n}\cdot \left(\frac{1}{2^{n+1}}\right)=\left(\frac{2^n}{2^{n+1}}\right)=\left(\frac{2^n}{2^{n}\cdot2}\right)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Aha smile

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Danke für deine Mühe jetzt hab ichs Tanzen

Tanzen

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