Charakteristische Funktion

08.02.2012, 14:41

Olk

Charakteristische Funktion

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich soll die Faltung von f*f ausrechnen, wobei f=char[-1,1] (charakteristische Funktion) ist.

Meine Ideen:
Nun die Faltung wird wie folgt berechnet:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\int_\mathbb R \! f(x-y)f(y) \, dy \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} g(x)=\int_\mathbb R \! char_{[-1,1]}(x-y)char_{[-1,1]}(y) \, dy \end{eqnarray*}$

Betrachte ich jetzt $\begin{eqnarray*} char_{[-1,1]}(x-y) \end{eqnarray*}$ , dann ist f für $\begin{eqnarray*} x-1\leq y\leq x+1 \end{eqnarray*}$ gleich 1 und sonst gleich 0.

Betrachte ich jetzt $\begin{eqnarray*} char_{[-1,1]}(y) \end{eqnarray*}$ , dann wäre f für y=[-1,1] gleich 1, sonst gleich 0.

Was mache ich jetzt? Heisst das, dass die Grenzen des Integrals -2 und 0 sind?
Also muss ich jetzt das folgende Integral berechnen oder habe ich etwas falsch gemacht?
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^0 \! 1 \, dy \end{eqnarray*}$

Danke für eure Hilfe,
Gruss Olk

08.02.2012, 14:52

topo

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du möchtest ja eine Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ haben, dabei taucht in deinem integral kein x mehr auf^^ (so ist $\begin{eqnarray*} g(100)=0 \end{eqnarray*}$ zum Beispiel)

schreibe vielleicht also erst die hintere char. Fkt. als Grenzen des Integrals um und überleg dir dann, wie der rest von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt

08.02.2012, 15:08

Olk

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Ja stimmt, macht eigentlich nicht wirklich Sinn...

Also nochmals:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\int_\mathbb R \! char_{[-1,1]}(x-y)char_{[-1,1]}(y) \, dy \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} g(x)=\int_{-1}^1 \! char_{[-1,1]}(x-y) \, dy \end{eqnarray*}$

Das heisst ja, dass y im Intervall [-1,1] bleibt und somit kann ich für f(y) 1 einsetzen.

$\begin{eqnarray*} char_{[-1,1]}(x-y) \end{eqnarray*}$ bedeutet doch, dass x-y im Bereich von [-1,1] sein muss, dann ist f(x-y) = 1 und ist x-y nicht in diesem Intervall, dann ist f(x-y) = 0.

Da bleibe ich jetzt irgendwie stecken verwirrt

Denn da f(y) nur im Intervall von y in [-1,1] =1 gibt, dann ist doch f(x-y) auch nur dann =1, wenn x in [-2,0] ist?
Irgendetwas stimmt hier nicht unglücklich

Wo ist der Überlegungsfehler?

08.02.2012, 15:28

topo

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das letzte Integral sieht schon mal gut aus.

nun betrachte für x diverse Intervalle und schaue, was für einzelne Werte passiert

zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$
dann steht im Integral immer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x-y>1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \in [-1,1] \end{eqnarray*}$

08.02.2012, 15:49

Olk

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Ah, ich hab da einen Rechnungsfehler gemacht. Wenn x im Intervall [-2,2] ist, dann ist die charakteristische Funktion =1. Ist x ausserhalb des Intervalles [-2,2], dann ist die charakteristische Funktion =0 und somit ist auch das Integral =0.

Was mache ich denn jetzt mit dem x? Ich müsste das ja irgendwie in den Grenzen einbeziehen. In den Grenzen darf ich natürlich kein y mehr drin haben, das würde schliesslich keinen Sinn ergeben, da ich über y integriere. D.h. ich müsste entweder als Grenzen x+1 und x-1 einsetzen oder ich müsste noch irgendetwas mit dem -2 und 2 machen? verwirrt

Oder muss ich ein Doppelintegral machen?

08.02.2012, 15:57

topo

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in der char. Fkt. kannst du erst mal das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in die Menge (in das Intervall) schreiben
ebenso kannst du noch das $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in diese Menge übertragen
dann hast du die Grenzen des Integrals, und das Intervall der char. Fkt.
diese kannst du dann mit Hilfe von min() und max() als Grenzen des Integrals schreiben

08.02.2012, 16:15

Olk

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Ah, ich muss die charakteristische Funktion so lange anpassen, bis sie nur noch von y abhängt, da ich über y integrieren will.

Also:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! char_{[-1,1]}(x-y) \, dy = \int_{-1}^1 \! char_{[x-1,x+1]}(-y) \, dy = \int_{-1}^1 \! char_{[-x-1,-x+1]}(y) \, dy = \end{eqnarray*}$

Jetzt hängt die charakteristische Funktion nur noch von y ab (sofern ich das richtig gerechnet habe). Deshalb kann ich jetzt das Minimum des Intervalls als untere Grenze und das Maximum als obere Grenze festlegen und für die charakteristische Fkt 1 einsetzen, also:

$\begin{eqnarray*} \int_{-x-1}^{-x+1} \! 1 \, dy \end{eqnarray*}$

Ich habe gerade den Eindruck, dass ich oben einen Fehler drin habe. Denn so würde das Integral ja für jedes x g(x)= 0 geben geschockt

08.02.2012, 16:18

topo

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das min des Intervalls als Untergrenze stimmt nicht ganz
du musst die -1 die bereits im Integral steht auch noch berücksichtigen
das heißt, nur wenn y größer ist als -1 und größer ist als -1-x
also ist die Untergrenze das max. dieser beiden Werte

vergleichbares kannst du mit der oberen Grenze des Integrals machen

08.02.2012, 16:24

René Gruber

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Für beliebige Teilmengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ reeller Zahlen gilt

$\begin{eqnarray*} \chi_A(y)\cdot \chi_B(y) = \chi_{A\cap B}(y) \end{eqnarray*}$ ,

in deinem Fall also

$\begin{eqnarray*} \chi_{[x-1,x+1]}(y)\cdot \chi_{[-1,1]}(y) = \chi_{[x-1,x+1]\cap [-1,1]}(y) \end{eqnarray*}$ .

Je nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (also Fallunterscheidung) kann man nun diesen Intervalldurchschnitt einfacher darstellen. Genauer gesagt sind das die vier Fälle

$\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2\leq x<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq x< 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\geq 2 \end{eqnarray*}$

(die Zuordnung der Übergangsstellen -2,0,2 zu den Fällen ist Geschmackssache).

08.02.2012, 16:26

Olk

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Also so:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\int_{max(-x-1, -1)}^{min(-x+1, 1)} \! 1 \, dy \end{eqnarray*}$

Angenommen ich hätte eine andere Aufgabe mit drei charakteristischen Funktionen gehabt, dann wäre die Untergrenze das max aus drei Werten (sofern diese verschieden sind) oder?

Danke hast du so viel Geduld smile

08.02.2012, 16:31

topo

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entweder so oder so wie René schrieb, kann man die char. Fkt. auch ausmultiplizieren

dann fehlt nun quasi nur noch die Fallunterscheidung wie René schrieb und du bist fertig

08.02.2012, 16:58

Olk

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Hm, also wie die Fallunterscheidung zustande kommt, ist mir klar. Habe aber trotzdem noch eine kleine Frage:
Diese Fallunterscheidung, wie stelle ich diese dar? Mit 4 verschiedenen Funktionen, wobei ich dann immer die Intervalle angebe, in welchen das x jeweils liegt? $\begin{eqnarray*} g_{i}(x), i\in (1,2,3,4) \end{eqnarray*}$

08.02.2012, 17:04

René Gruber

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Zitat:

Original von Olk
Also so:
$\begin{eqnarray*} g(x)=\int_{max(-x-1, -1)}^{min(-x+1, 1)} \! 1 \, dy \end{eqnarray*}$

Das stimmt auch nicht immer: Nehmen wir z.B. mal $\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$ , dann lautet diese deine Gleichung

$\begin{eqnarray*} g(x) \stackrel{?}{=} \int_{\max(2, -1)}^{\min(4, 1)} 1 ~ \dd y = \int_{2}^{1} 1 ~ \dd y \stackrel{!!!}{=} -\int_{1}^{2} 1 ~ \dd y = -1 \end{eqnarray*}$ ,

was gewiss falsch ist, denn tatsächlich kommt hier 0 heraus (wegen leeren Intervalldurchschnitt).

08.02.2012, 17:04

topo

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im prinzip bleibt dir nichts anderes übrig als 4 Funktionen zu schreiben (wobei du die für >2 und <-2 zusammenfassen kannst^^)
aufschreiben kann man das zum Beispiel mit
$\begin{eqnarray*} g(x)= \end{eqnarray*}$ und dann eine geschweifte Klammer öffnen und die 4 Bereiche untereinander dahinter zu schreiben

@René: ups, stimmt, die Fälle mit x<-2 und x>2 hab ich nicht mehr Bedacht, doch die kann man dann vorher ausschließen (g(x)=0 für diese x)

08.02.2012, 17:15

Olk

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Super jetzt seh ichs, danke für das Beispiel und überhaupt für eure Geduld! Mit Zunge

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