Kongruenzen

08.02.2012, 16:39	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenzen Hallo miteinander Ich habe eine Frage hierzu: Bestimme alle f aus Q[x] welche die Kongruenzen f = 1 (mod x) f = 2 (mod x-1) erfüllen. Geht man hier gleich vor, als würde es sich um Zahlen (und nicht Polynome) handeln, oder wie macht man das hier? MfG, Thomas
08.02.2012, 17:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht um Teilbarkeit. $\begin{eqnarray} f\equiv 1 mod x\Leftrightarrow x\|(f-1) \end{eqnarray}$ . Schreibe $\begin{eqnarray} f=a_0+a_1x+...+a_nx^n \end{eqnarray}$ und überlege.
08.02.2012, 18:16	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also wenn x \| (f-1), so kann f = 1 + a_1 x + ... + a_n x^n sein. Und wenn (x-1) \| (f-2) , so kann f = (1+x)^n sein. Ist das korrekt?
09.02.2012, 17:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f=1+\sum_{k=1}^n a_kx^k\Rightarrow x\|f-1 \end{eqnarray}$ stimmt. Gilt auch die Umkehrung ? Das andere ist völlig falsch. x-1 ist z.B. kein Teiler von 1, kein Teiler von x+1, kein Teiler von x²+2x+1, ... .
09.02.2012, 22:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde dein chin. Restsatz bemühen. Nach diesem gibt es nämlich eine eindeutige Lösung $\begin{eqnarray} ax+b \end{eqnarray}$ , sodass jede Lösung durch $\begin{eqnarray} f= ax+b+g\cdot x(x-1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g \in \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ gegeben ist. Um a und b zu bestimmen, muss man nur noch die beiden Kongruenzen einsetzen. Alternativ kann man auch gleich den Algorithmus des chin. Restsatz anwenden.

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