Direktheit Summe Unterräume

08.02.2012, 18:45

CarverVra

Direktheit Summe Unterräume

Hallo!
Ich habe eine kurze Verständnisfrage.
Und zwar sind $\begin{eqnarray*} U_{1},..., U_{n} \end{eqnarray*}$ Unteräume eines K-Vektorraums V.
Die Summe $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} U_{i} \end{eqnarray*}$ heißt direkt, wenn sich jedes $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ eindeutig schreiben lässt als $\begin{eqnarray*} u = u_{1}+ ...+u_{n} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} u_{i} \in U_{i} \end{eqnarray*}$ . Man soll jetzt anhand eines Beispiels zeigen, dass dies für n > 2 i.A. nicht äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} U_{1} \cap...\cap U_{n}=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ Das verstehe ich nicht, denn sobald ein Element ungleich 0 in allen Unterräumen drin ist, kann ich doch beispielsweise Vielfache dieses Elements nicht mehr eindeutig schreiben?
Ich finde jedenfalls kein Gegenbeispiel und hoffe jemand kann mir helfen
grüße!

08.02.2012, 20:40

Helferlein

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Du sollst ja auch Äquivalenz nachweisen und nicht nur Implikation.
Deine Überlegung zeigt nur die Hälfte der Aussage. Sie ist aber kein Belege dafür, dass aus der Schnitt-Aussage die Eindeutigkeit folgt.

08.02.2012, 20:49

murgel

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RE: Direktheit Summe Unterräume

Zitat:

Original von CarverVra
Das verstehe ich nicht, denn sobald ein Element ungleich 0 in allen Unterräumen drin ist, kann ich doch beispielsweise Vielfache dieses Elements nicht mehr eindeutig schreiben?

Dann mach doch mal die umgekehrte Überlegung: Kannst du Unterräume eines Vektorraums finden, deren Schnitt zwar trivial ist, ihre Summe aber dennoch nicht direkt? Ein solches Beispiel würde ja ebenfalls die Äquivalenz widerlegen.
Noch ein Tipp: Geeignete Gegenbeispiele lassen sich schon in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ finden. Du kannst sie dir sogar durch geometrische Überlegungen klar machen.

Gruß murgel

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