Problem mit Differenzialgleichungen

Original von Stackenblochen
und noch eine kurze Frage:
Wenn bei a) steht "Berechen Sie die Lösung durch den Punkt (1, 1)", was mus ich dann anders machen?

Das wird wahrscheinlich nur eine andere Formulierung für einen Anfangswert sein. Wenn Du die DGL gelöst hast, erhälst Du ja eine Funktion y(x) mit einer Konstanten C drin. Da setzt Du einfach für y=1 und x=1 ein, um zu ermitteln, welchen Wert die Konstante hat.

a) würde ich ebenso mit Trennung der Variablen lösen, bei b) passt das glaube ich nicht. Die funktioniert aber sehr schön mit der Substitution [latex=inline]u = \frac{y}{x}[/latex] und Kehrwert. Dafür musst Du die DGL bloß auf eine Form [latex=inline]y'=f\left(\frac{y}{x}\right)[/latex] bringen.

04.07.2004, 10:53

Stackenblochen

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Schonmal vielen Dank!

Hier ist mein Ansatz zu a)

$\begin{align*} y' = \frac{y}{x}\;\;\; /:y\\\frac{y'}{y} = \frac{4}{x}\\ \Bigint \frac{y'}{y} = \Bigint{4}{x}\\ln|y| = 4 ln |x| + c\\|y| = e^{4 ln |x| + c} = |x^4| \cdot e^c\\y = k \cdot x^4; \;\;\; k = e^c > 0 \end{align*}$

Ich nehme mal an, dass das so stimmt. Meine Frage ist allerdings, ob man bei der Trennung der Variablen wirklich nur z.B. y auf die eine und x auf die andere Seite bringen muss und dann munter intergrieren darf, oder ob man da auf eine bestimmte form achten muss, etc.

Nochmals danke!

04.07.2004, 10:55

Stackenblochen

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@MatheBlaster: Danke! Wir ham' Substitution noch nicht im Zusammenhang mit Differenzialgleichungen gemacht und ich weiß nicht so recht wie ich das angehen soll. Kannst du mir das vielleicht mal an einem einfachen Beispiel vorrechnen? Merci!

04.07.2004, 12:14

MatheBlaster

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Vielleicht war das ganze so beabsichtigt, aber a) eignet sich wunderbar als Beispiel für die Substitution, auch wenn's der total Overkill ist smile

Da Du die Lösung ja schon hast, kann ich ja ruhig den ganzen Rechenweg aufschreiben. Also los geht's:

Wir haben

$\begin{eqnarray*} y' = 4 \frac{y}{x} = f \left( \frac{y}{x} \right) \end{eqnarray*}$

also genau die Form, die wir für die Substitution brauchen.
Substituiere: [latex=inline]u(x) = \frac{y(x)}{x}[/latex], [latex=inline]y(x) = u(x) \cdot x[/latex] woraus nach der Produktregel des Differenzierens folgt [latex=inline]y'(x) = \frac{dy}{dx} = u'(x) \cdot x + u(x) \cdot 1 = ux + u[/latex]
Ich habe das so ausführlich mit dem u(x) etc. nur hingeschrieben, damit klar wird, wieso ein u' entsteht, ich komme da sonst immer durcheinander. Das lässt man aber später eigentlich weg.

Ok, wir setzen u und y' ein und erhalten

$\begin{eqnarray*} u'x + u = \frac{du}{dx} x + u= 4 u \end{eqnarray*}$

Durch Umformen folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3u} du = \frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}$

Integrale lösen und ein bisschen Umformen

$\begin{eqnarray*} u = e^{3 \ln x + \ln C} = x^3 \cdot C \end{eqnarray*}$

Nun noch rücksubstituieren und das x auf die andere Seite bringen

$\begin{eqnarray*} y = x^4 \cdot C \end{eqnarray*}$

Passt!

04.07.2004, 12:27

Stackenblochen

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Super! Hab's verstanden! Vielen Dank!

04.07.2004, 12:57

Stackenblochen

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Hab' doch noch eine kleine Frage:

$\begin{align*} y' = 4\frac{x}{y}\\y'y = 4x\\ \Bigint y'y = \Bigint 4x \\ \frac{y^2}{2} + c = 2x^2 + c \end{align*}$

Was mach ich denn jetzt mit der Konstanten? Ich hab mal ohne die Konstante weitergerechnet und komme dann auf y = 2|x| was ja eine schöne Lösung ist, aber wenn ich die Konstante nicht weglasse, müsste ich da ja auch die Wurzel draus ziehen, usw.
Wie macht man das denn richtig?

04.07.2004, 13:27

MatheBlaster

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Normalerweise bringt man nur auf einer Seite eine Konstante ins Spiel. Wenn man es so machen will, wie Du, musst Du zwischen den Konstanten unterscheiden, also links C1 und rechts C2 oder so.

Da die Konstanten unbekannt sind, kannst Du nicht einfach annehmen, dass C-C=0. C1-C2 dagegen kannst Du einfach zu C zusammenfassen, da konstant.
Das ist sowieso das schöne bei den Konstanten hier, Du kannst fast beliebig C=ln C=e^C=5C=-C oder sonstwas machen wie es gerade passt, da es eben alles nur eine unbekannte Konstante ist.

04.07.2004, 16:15

Stackenblochen

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Super! Danke!

Ich hab noch eine Frage, ich hoffe ich nerv' euch nicht....

Ich hab einige Gleichungen, bei denen ich mir nicht sicher bin, ob die homogen sind oder nicht... Woran erkennt man das? Und wenn eine Gleichung inhomogen ist, wie muss ich dann c(x) ausrechnen?

Vielen Dank und sorry für die vielen Fragen!

05.07.2004, 09:16

FC Spinelli 04

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!!!!!!!!!!!

Editiert von Jama ... Dreist

05.07.2004, 11:48

Irrlicht

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Spinelli: ---> PN von mir in deinem Eingang!

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