Aufstellen einer Funktionsgleichung, fehlenden y-Wert herausfinden

08.02.2012, 19:27

Ossideluxe

Auf diesen Beitrag antworten »

Aufstellen einer Funktionsgleichung, fehlenden y-Wert herausfinden

Meine Frage:
Also die Aufgabe lautet wie folgt:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades verläuft durch den Koordinatenurpsrung . Er hat bei xt=2 eine waagerechte Tangente und bei x2=4 eine Wendestelle. Die Wendetangente hat die Steigung -4. Bestimmmen sie den Funktionsterm.
Wie finde ich den letzten Y Wert bei der Wendetangente heraus?

Meine Ideen:
Und zwar habe ich für xt=2 den Term aufgestellt (2/0) sowie für (4/0) und deren zweite ABleitung f"(4)= 0. Jetzt fehlt mir nur noch der Y Wert für die Wendetangente mit der Steigung -4.

08.02.2012, 20:07

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

aus der ersten Bedingung [ f(0)=0 ]folgt

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx^2+cx \qquad \text{\rm desweiteren}<br /> <br /> f'(x)=3ax^2+2bx+c<br /> <br /> f''(x)=6ax+2b \end{eqnarray*}$

Weitere Bedingungen

$\begin{eqnarray*} 1.) f'(2)=0<br /> 2.) f''(4)=0<br /> 3.) f'(4)=-4 \end{eqnarray*}$

Das sind 3 Gleichungen für 3 Variable, das müsste doch zu lösen sein.

08.02.2012, 20:08

wdposchmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufstellen einer Funktionsgleichung Fehlenden Y Wert herausfinden
Hi,

naja wenn die Wendetangente die Steigung 4 hat, heißt das ja nichts anderes, als dass im Punkt 4 die Funktion die Steigung -4 hat. Und die Steigung gibt die erste Ableitung an. Somit gilt noch f'(4) = -4.

Löse also das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} <br /> d = 0<br /> 12a+4b+c = 0<br /> 24a+2b = 0<br /> 48a+8b+c = -4<br /> \end{eqnarray*}$

Gruß

08.02.2012, 21:15

Ossideluxe

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke vielmals für eure Hilfe schonmal bis hierher!
Das müsste doch jetzt eigentlich in etwa so korrekt sein oder?

Im GTR habe ich folgendes geschrieben.

(0/0)f(0)= a0³+b0²+c0+1d =0
(2/0)f´(2)= 3a*4+2b+1c+d*0 =0
(4/0)f"(4)= 6a*64+2b*4+10+d*0 =0
(4/-4)f´(4)= 3a*8+2b+4+c*4+d*0 =-4

Wo liegt hier der Fehler? Oder mache ich etwas prinzipiell falsch?

Herauskommen soll:
f(x)=1/3x³-4x²+12x

Ich komme auf x = 1/48 Y= -9/8 Z= 1 T= 0

08.02.2012, 21:19

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiss nicht was du da eintippst..
Ich würde einfach eine Matrix 3x4 eintippen und mit rref lösen lassen.

08.02.2012, 21:26

Ossideluxe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm ja da war grad irgendwie was falsch rumgekommen hab´s editiert.
Ja würd ich gern machen doch wir lernen in FOS nur sehr "engstirnig" und stellen nur die Gleichung so auf und tippen das dann in´s EQUA Menü ein und hoffen das beste! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

08.02.2012, 21:41

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufstellen einer Funktionsgleichung Fehlenden Y Wert herausfinden
soll das bedeuten, dass man im EQUA-Menu das System so eingeben kann?

$\begin{eqnarray*} 12a+4b+c &=& 0 \\24a+2b &=& 0\\48a+8b+c& =& -4 \end{eqnarray*}$

Was ist FOS ?

08.02.2012, 21:47

Ossideluxe

Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja im man gibt es so in der Reihenfolge an wie es oben in meinen Beitrag steh wobei der letzte Wert in der Reihe dann dem Y Wert entspricht, für die nicht vorhandenen Werte gibt man dann in der Zeile 0 oder 1...nicht 100 pro sicher an.

Also bspw.: (0/0) a0³+b0²+c0+d =0

FOS ist die 2 jährige Fachoberschule, bei mir mit Schwerpunkt Wirtschaft & Verwaltung

08.02.2012, 22:05

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

hab' es schon verstanden, nur dass das Rechte nicht immer ein Funktionswert sein muss, es kann auch der Wert der Ableitung sein, oder Wert der 2. Ableitung...
Allgemein spricht man dann von der Absolutwert-Spalte.

prinzipiell ist aber alles klar.

08.02.2012, 23:52

Ossideluxe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das Eingabeproblem konnte ich beseitigen. Waren einiges an Fehler darunter.

Aber nun hänge ich an einer anderen Aufgabe.
Ein durch den Koordinateursprung verlaufender Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades besitzt bei 6 eine Nullstelle und bei 3 eine Wendestelle mit der Steigung -3. Ermitteln des Fkt. Term.

Mein aufstellen

Koord.ursprung = (0/0) f(x) I
bei 6 Nst. =(6/0) f(x) II
bei 3 Wendst. =(3/0) f(x) III
=(3/0) f"(x) IV

Setze das so ein aber komm auf nichts wirklich gescheites oder habe ich schonwieder falsch gedacht?

09.02.2012, 00:15

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch fast dieselbe Aufgabe.

Zitat:

Original von Ossideluxe

Koord.ursprung = (0/0) f(x) I
bei 6 Nst. =(6/0) f(x) II
bei 3 Wendst. =(3/0) f(x) III
=(3/0) f"(x) IV

Ich komm' mit der eigentümlichen Schreibfigur nicht klar. Persönliche Syntax?

ohne Zweifel ist diese Notation:

$\begin{eqnarray*} 1.) f(0)=0<br /> 2.) f(6)=0<br /> 3.) f''(3)=0<br /> 4.) f'(3)=-3 \end{eqnarray*}$

du musst es nur fehlerfrei umsetzen.

09.02.2012, 00:33

Ossideluxe

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Danke für deine nächtliche Antwort, hatte nicht mit soviel Aktivität um diese Uhrzeit gerechnet!

Ja auch aber auch prinzipiell, an und für sich ist das ja so einfach das man nur einsetzen brauch weswegen ich nicht immer den ganzen Term aufschreibe.

Aber mein Problem ist mir zu merken welche Handlung in welchem Falle anzuwenden ist...
So habe ich bei dieser Aufgabe bezüglich des letzten Absatzesmit Wendestelle und Steigung insg. 4 andere vorherige Versuche gehabt mit
(-3/3) f´(-3)
(-3/3) f (-3)
(3/-3) f (3)
(3/-3) f´ (3)....welches ja dann letzlich richtig nur falsch geschrieben und eingesetzt war. Mir ist nicht immer so ganz klar was welche Auswirkungen hat und irgendwie ging die Analysis sehr großzügig an mir die letzten Jahre vorbei....

Aber auch wenn ich das so durch den GTR jage wie von dir beschrieben ist lediglich der x-wert so wie angegeben mit -1/9. Ansonsten Y=1 und Z=2 wobei ich mir nun einfach mal wieder den Kopf zermattere welches Zählchen ich falsch "eingesetzt" habe....

Ich wäre dafür das wenn man schon Analysis machen muss dann wenigstens vollständig und nicht so Hasengeklecker mit einzelnen Brocken die man dann in einem nicht zugänglichen Zusammenhang sehen soll/kann/muss.

09.02.2012, 12:25

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

was man wie einsetzt ergibt sich aus den Vorgaben:

a.) ganzrationale Funktion vom Grade 3. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\ \Rightarrow f''(x) &=& 6ax +2b \end{eqnarray*}$

b.) Vorgaben in Worten, was die Funktion tun soll. ( Steht in der Aufgabe )
c.) Umsetzung der Vorgaben in Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 1.) f(0)=0 \\2.) f(6)=0\\3.) f''(3)=0\\4.) f'(3)=-3 \end{eqnarray*}$

d.) Einsetzen obiger Bedingungen

$\begin{eqnarray*} 1.) 0&=&a0^3+b0^2+c0+d\\2.) 0&=&a6^3+b6^2+c6+d\\3.) 0&=&6a3+2b\\4.) -3&=&3a3^2+2b3+c \end{eqnarray*}$

e.) schönes Schreiben der Einsetzungen.

$\begin{eqnarray*} 1.) d&=&0 \\2.) 216a+36b+6c+d&=&0 \\3.) 18a+2b&=&0\\4.) 27a+6b+c&=&-3 \end{eqnarray*}$

f.) Lineares Gleichungssystem lösen.

Puh.. mehr fällt mir nicht mehr ein.

23.02.2012, 21:15

Ossideluxe

Auf diesen Beitrag antworten »

Aufjedenfall vielen vielen Dank!
Hab mich nochmal hingesetzt und dann haben die Aufgaben auf Anhieb geklappt!

Allerdings ist mir nicht ganz klar wie das sich bei (3/-3) verhält. Der Wert Y ist -3 weil die Steigung -3 ist und man daraus schlussfolgert das X bei 3 liegt?

23.02.2012, 22:17

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt kein (3|-3)
Das wäre ja ein punkt (3|-3)

gewöhn' dir mal diese Notation ab.

du meinst f'(3)=-3 und das ist was ganz Anderes.

23.02.2012, 22:29

Ossideluxe

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo klar aber wir schreiben das in der Form jedes mal mit vor die Funktion, der Übersicht wegen und ansonst schreiben wir das so ähnlich
f(x)=ax³+bx²+cx+d =y

Hatte die Aufgabe schon vorhin gepostet aber entweder kam sie nicht durch oder sie wurde gelöscht sie wird jedenfalls nicht angezeigt.
Edit:
Achja ich stecke grad bei noch einer Aufgabe, mein Problem, der Inhalt. Mir fällt es schwer 4 Informationen aus dieser herauszuziehen.
Jedenfalls:
Der Graph einer ganzrationalen Fkt. dritten Grades berührt die x Achse an der Stelle 4 und hat in W(2/3) einen Wendepunkt.
Ich habe bisher
I (4/0)
II´´(2/3)
III(2/3)
IV´(2/3)
Also wenn ich mir die Infos rausziehe ist ja klar beim ersten x = 0 Y= 4. Einen Wendepunkt bei (2/3) also Originalfunktion und 2. Ableitung. Muss ich bei der 2. Ableitung nicht auch eigentlich mit (2/0) arbeiten?

Jedoch bin ich mir uneins mit der Reihenfolge und ob die 1. Ableitung überhaupt Anwendung findet.

24.02.2012, 12:44

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese neue Aufgabe habe ich in einen eigenen Thread abgetrennt (und auch geantwortet), du kannst den Thread hier finden.

smile

smile

24.02.2012, 12:47

thk

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die 4 Informationen als LGS einarbeitest, klappt es sicher. Notiere die geg. Stücke am besten so, dass du dich nicht selbst verwirrst:

f(4)=0
f'(4)=0 (berührt...)
f(2)=3
f''(2)=0

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »