Satz von Stokes

09.02.2012, 00:41

Ungewiss

Satz von Stokes

Hallo zusammen, ich suche einen Ansatz für folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} S^3 \end{eqnarray*}$ die Einheitssphäre im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ , orientiert bezüglich des äußeren Normalenvektorfeldes, weiter sei $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ die 3-Form

$\begin{eqnarray*} \omega=x_2\ \dd x_2\wedge \dd x_3\wedge \dd x_4\ + x_1\dd x_1\wedge\dd x_3\wedge \dd x_4\ + x_4\dd x_1 \wedge \dd x_2 \wedge \dd x_4\ + x_3\dd x_1\wedge\dd x_2 \wedge \dd x_3 \end{eqnarray*}$

Man zeige, dass für jede kompakte Menge $\begin{eqnarray*} A\subseteq S^3 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \int\limits_A\omega =0 \end{eqnarray*}$

Ich nehme mal an, dass es mit einem der Integralsätze gelöst werden soll. Was ich mir bisher überlegte ist, dass $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ geschlossen ist, und S^3 einfach zusammenhängend, also existiert eine 2-Form $\begin{eqnarray*} \eta \text{ mit } \dd\eta=\omega \end{eqnarray*}$ . Mich macht stutzig, dass nirgendwo vorausgesetzt wird, dass A einen glatten Rand haben soll, zumindest steht diese Voraussetzung in den meisten Versionen vom Satz von Stokes die ich mir angesehen habe.

Was noch klar ist, ist dass S^3 eine 3-Dim UMF des IR^4 ist, aber eigentlich bräuchte ich dann eine 2 Form, für den Satz von Stokes?

Wenn ich mich nicht täusche erfüllt
$\begin{eqnarray*} \eta= \left(\frac{x_1^2}{2}+\frac{x_2^2}{2}\right)\dd x_3\dd x_4\ +\ \left(\frac{x_3^2}{2}+\frac{x_4^2}{2}\right)\dd x_1\dd x_2 \end{eqnarray*}$
die Bedingung $\begin{eqnarray*} \dd\eta=\omega \end{eqnarray*}$

Ich schreibe ihn am besten mal in der mir zur Verfügung stehenden Version auf:
Sei $\begin{eqnarray*} U\subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ offen, $\begin{eqnarray*} M\subseteq U \end{eqnarray*}$ eine orientierte k-dimensionale Untermannigfaltigkeit ( k $\begin{eqnarray*} \geq 2 \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ eine stetig differenzierbare k-1-Form in U. Dann gilt für jedes Kompaktum $\begin{eqnarray*} A\subseteq M \end{eqnarray*}$ mit glattem Rand
$\begin{eqnarray*} \int_A\dd \omega =\int_{\partial A}\omega \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ die induzierte Orientierung trägt. (wörtlich ausm Forster)

Vielleicht kann man schon anders begründen, dass A glatten Rand hat, was mich aber wundern würde.

Schonmal Danke für etwaige Hilfestellungen!

09.02.2012, 16:01

tmo

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RE: Satz von Stokes
Wenn A glatten Rand hätte, könnte ich folgendes anbieten:

Zitat:

Original von Ungewiss
Wenn ich mich nicht täusche erfüllt
$\begin{eqnarray*} \eta= \left(\frac{x_1^2}{2}+\frac{x_2^2}{2}\right)\dd x_3\dd x_4\ +\ \left(\frac{x_3^2}{2}+\frac{x_4^2}{2}\right)\dd x_1\dd x_2 \end{eqnarray*}$
die Bedingung $\begin{eqnarray*} \dd\eta=\omega \end{eqnarray*}$

Ja, aber

$\begin{eqnarray*} \eta = \left(\frac{x_1^2}{2}+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^2}{2}+\frac{x_4^2}{2}\right)\dd x_3\dd x_4\ +\ \left(\frac{x_1^2}{2}+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^2}{2}+\frac{x_4^2}{2}\right)\dd x_1\dd x_2 \end{eqnarray*}$

tut's auch.

Und ist $\begin{eqnarray*} i: S^3 \supset A \to \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ die Inklusion, so sieht $\begin{eqnarray*} i^* \eta \end{eqnarray*}$ schon sehr angenehm aus smile

09.02.2012, 22:05

Ungewiss

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Hey, danke!

Dein eta ist wohl geschickter gewählt Big Laugh

Ich verfolge deinen Ansatz unter der Prämisse des glatten Randes mal weiter

$\begin{eqnarray*} \int_A\dd \eta = \int_{\partial A}\eta \stackrel{\partial A\subset S^3}{=}\frac12 \int_{\partial A}\dd x_3 \dd x_4+ \frac12 \int_{\partial A}\dd x_1 \dd x_2 \end{eqnarray*}$

Hmm, und schon weiss ich nicht weiter. Rand A ist ja eine 2 Dim UMF(hmm ne wohl eher nicht?) von der mir keine Karte bekannt ist. Ich verstehe nicht ganz, was mir die Inklusion bringt, muss ich zugeben. Bisher hab ich Integrale von k formen auf k dim UMF im R^n von denen mir eine Karte $\begin{eqnarray*} \phi : U\subset \mathbb{R}^k\to M\subset\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ bekannt war so gelöst

$\begin{eqnarray*} \int_M\mu = \int_U \phi ^* \mu \end{eqnarray*}$

Ist das erste mal, dass ich den Satz von Stokes anwende, wenn ich das als entschuldigung für meine eventuelle Begriffstutzigkeit anbringen darf Augenzwinkern

Edit: ich glaube, dass mit dem Rand habe ich prinzipiell noch nicht verstanden. Für Erklärungsversuche bin ich natürlich offen, aber wenn man dazu keine Lust hat, kann ich das nachvollziehen.

09.02.2012, 23:33

tmo

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Wende doch jetzt einfach den Satz von Stokes nochmal in die andere Richtung an. Dann bist du fertig.

Zu der Inklusion: Das ist eine rein formale Sache. Eigentlich ist $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ja eine 3-Form auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ eine 2-Form auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ .

Mit der Inklusion zieht man sie zurück, damit es wirklich Formen auf $\begin{eqnarray*} S^3 \end{eqnarray*}$ bzw. A sind.

Ich habe das so geschrieben, um noch etwas mehr mit dem Zaunpfahl zu winken, was diese geschickte Wahl von $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ angeht.

10.02.2012, 00:21

Ungewiss

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Hey, danke, dass du dich weiter mit mir beschäftigst Augenzwinkern

Also ich glaube so solls gehn:

$\begin{eqnarray*} \int_A\omega \stackrel{\text{Satz von Stokes}}{=}\int_{\partial A}\eta=\int_{\partial A} i^* \eta =\frac12 \int_{\partial A}( \dd x_3\dd x_4+\dd x_1\dd x_2)\stackrel{S.v.Stokes}{=}\frac12 \int_A\dd(\dd x_3\dd x_4+\dd x_1\dd x_2)=\frac12 \int_A 0=0 \end{eqnarray*}$

Edit: oder wie wärs mit dem Lösungsversuch

Mit $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4, \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}x_2\\ -x_1\\x_4\\ -x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist

$\begin{eqnarray*} \int_A\omega= \int_A f\dd\vec{S}=\int_A \langle f,\nu \rangle\dd S =0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \nu(x)=x \end{eqnarray*}$

10.02.2012, 10:07

tmo

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Also das mit dem glatten Rand hat sich erledigt, glaube ich, der Satz von Stokes ist hier nämlich unnötig.

Wir können doch einfach mit obigem $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ und der Inklusion $\begin{eqnarray*} i: S^3 \to \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ schreiben:

$\begin{eqnarray*} i^*\omega = i^* \dd \eta = \dd i^* \eta = 0 \end{eqnarray*}$ und damit ist auch das Integral über jedes Kompaktum 0.

10.02.2012, 11:22

Ungewiss

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Perfekt!

Vielen dank nochmal.

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