Bijektivität

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17.01.2007, 12:41	PM	Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektivität Hallo. Für welche $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R ^+ \end{eqnarray}$ ist die folgende Funktion bijektiv? $\begin{eqnarray} f_\alpha : (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}) \to\mathbb R ^+ , f_\alpha (x)=cos(x)exp(\alpha tan(x)) \end{eqnarray}$ Weiß nicht so recht wie ich das zeigen soll?
17.01.2007, 20:57	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast Du Dir denn schon überlegt dazu? Kleiner Tipp: Zeige zunächst die Stetigkeit der Funktion. Dann berechnest Du die Limiten an den Intervallrändern, damit ist die Surjektivität gezeigt. Für Injektivität gilt bloss noch, dass die Funktion keine Extrema hat..
17.01.2007, 21:11	PM	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ...... bis zur Surjektivität hab ich das genauso gemacht. Nach meiner Rechnung müsste $\begin{eqnarray} f_\alpha \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ungleich Null surjektiv sein. Stimmt das? Ich verstehe aber nicht wieso die Funktion injektiv ist, wenn sie keine Extrema hat? Wär nett wenn du mir das kurz erläutern könntest. Danke für deine bisherige Antwort.
17.01.2007, 21:22	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Funktion keine Extrema hat und stetig ist, so ist sie zwangsläufig monoton. Und Stetigkeit und Monotonie sind äquivalent zu Injektivität. Zeige, für welche a in IR+, f'(x)>0 für alle x. Das mit der Surjektivität passt, ausserdem sind nur positive a zugelassen .
17.01.2007, 21:28	PM	Auf diesen Beitrag antworten »
f'(x) > 0 für alle $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ >0,5 hab ich ausgerechnet, ABER: Hab mal am Computer ein paar Graphen zeichnen lassen und habe das Gefühl, dass die Funktion für sehr große $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ nicht mehr injektiv ist und auch für 0,5 scheint die Funktion injektiv zu sein. Hoffe du kannst meine Verwirrung irgendwie beheben.
17.01.2007, 21:47	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, f'(x) darf natürlich (in einem Punkt jeweil) null sein, also a>=0.5 passt. Aber gegen oben sehe ich keine Möglichkeit, dass sie nicht mehr injektiv sein sollte... Das passt für alle a>=0.5. Mfg
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17.01.2007, 21:56	PM	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich nicht so ganz ..... wenn $\begin{eqnarray} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray}$ ist, dann ist f doch "nur" monoton wachsend und nicht streng monoton wachsend.....und ich dachte immer nur eine streng monotone Funktion sei injektiv.
18.01.2007, 14:21	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eben genau der Punkt. f'(x) darf nicht abschnittweise null sein, aber in einzelnen Punkten schon. Betrachte die Kubikfunktion, die ist streng monoton steigend, aber f'(0)=0:
18.01.2007, 15:33	PM	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt doch $\begin{eqnarray} f'(x)\geq 0 \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} \alpha \geq sin(x)cos(x) \end{eqnarray}$ Wie berechnet man denn nun eigentlich, dass $\begin{eqnarray} \alpha \geq 0,5 \end{eqnarray}$ . Wie komme ich da drauf? Hab das an dem Graphen gesehen, weiß aber nicht wie ich rechnerisch drauf kommen würde.
18.01.2007, 18:19	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bijektivität Ach so ... Nun, es ist ja $\begin{eqnarray} f_\alpha (x):=\cos x \exp\left(\alpha \tan x\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f'_\alpha (x):=\exp\left(\alpha \tan x\right)\bigg(\alpha \sec x-\sin x\bigg) \end{eqnarray}$ Somit kommst Du auf Deine Gleichung: $\begin{eqnarray} \sin x\cos x\geq \alpha \end{eqnarray}$ Nun zeige, dass $\begin{eqnarray} g(x):=\sin x\cos x+\alpha \end{eqnarray}$ also Funktion von a abhängige Minima hat, und diese sollst Du dann so verschieben, dass sie auf der x-Achse liegen ... => Noch ein geometrischer Hinweise für die Interpretation. Die 0.5 kommen letztlich dadurch zustande, dass die Amplitude Deiner Funktion 0.5 ist, also die Hälfte einer Sinusamplitude oder Cosinusamplitude (kannst Dir ja überlegen, warum das so ist!)...

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