Coretraktion

09.02.2012, 12:51

Gast11022013

Coretraktion

Meine Frage:
Fasse eine Relation $\begin{eqnarray*} R: A\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ als Morphismus in der Kategorie $\begin{eqnarray*} \operatorname{Ens}_{Rel} \end{eqnarray*}$ auf.

Zeige, daß dann gilt:

Eine Relation $\begin{eqnarray*} R: A\rightharpoondown B \end{eqnarray*}$ ist eine Coretraktion in $\begin{eqnarray*} \operatorname{Ens}_{Rel} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ injektiv und überall definiert ist.

Meine Ideen:
Hallo, ich habe ein paar Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.

Ich muss also zeigen:

$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ injektiv & überall definiert $\begin{eqnarray*} ~\Rightarrow~ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist Coretraktion, d.h. es existiert $\begin{eqnarray*} S: B\rightharpoondown A \end{eqnarray*}$ , sodaß $\begin{eqnarray*} S\circ R=id_{A} \end{eqnarray*}$

In der Literatur habe ich gelesen, daß man ein solches $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ zum Beispiel gegeben hat durch

$\begin{eqnarray*} S:=\left\{(b,a)~|~(a,b)\in R\right\} \end{eqnarray*}$ .

Allerdings habe ich noch nicht verstanden, wieso dieses definierte $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ das Gewünschte erfüllt.

Ich muss dazu m.E. zeigen:

(i) $\begin{eqnarray*} S\circ R\subseteq id_{A} \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} S\circ R\supseteq id_{A} \end{eqnarray*}$

Zu (i): Sei $\begin{eqnarray*} (a,\tilde a)\in S\circ R \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es (nach der Definition der Verkettung von Relationen) ein $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ , sodaß $\begin{eqnarray*} (a,b)\in R~\wedge~ (b,\tilde a)\in S \end{eqnarray*}$ .

Wie kann ich nun weitermachen? Hat jemand einen Tipp für mich?
(Ich muss jetzt sicherlich irgendwie die Voraussetzungen ausnutzen um zu zeigen, daß $\begin{eqnarray*} a=\tilde a \end{eqnarray*}$ , denn dann wäre $\begin{eqnarray*} (a,\tilde a)\in id_{A} \end{eqnarray*}$ . Aber wie kann ich das machen?)

Edit: Vorschlag

Beweis:

" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} (a,\tilde a)\in S\circ R \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es nach der Definition der Verkettung von Relationen ein $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ , sodaß $\begin{eqnarray*} (a,b)\in R~\wedge~(b,\tilde a)\in S \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, daß $\begin{eqnarray*} (\tilde a,b)\in R \end{eqnarray*}$ gelten muss. Da $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung injektiv ist, muss gelten $\begin{eqnarray*} a=\tilde a \end{eqnarray*}$ und damit gilt $\begin{eqnarray*} (a,\tilde a)\in id_{A} \end{eqnarray*}$ .

" $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} (a,a)\in id_{A} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung überall definiert ist, gibt es mindestens ein $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ , sodaß $\begin{eqnarray*} (a,b)\in R \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} (b,a)\in S \end{eqnarray*}$ . Das heißt, es gibt ein $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ , sodaß $\begin{eqnarray*} (a,b)\in R~\wedge~ (b,a)\in S \end{eqnarray*}$ und das bedeutet $\begin{eqnarray*} (a,a)\in S\circ R \end{eqnarray*}$ .

Beweis Ende.

Ist das so korrekt?
Oder fehlt was?

10.02.2012, 14:02

Gast11022013

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RE: Coretraktion
Hat noch jemand ein Feedback für mich?
Wink

11.02.2012, 13:51

Gast11022013

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Ich weiß, daß man Geduld haben soll.

Da es aber nach meiner Erfahrung ungewöhnlich ist, nach zwei Tagen noch gar keine Antwort bekommen zu haben, so frage ich nochmal nach:

Ist irgendwas unverständlich an der Aufgabe, kann ich was tun, damit es attraktiver ist, auf sie zu antworten?

Wink

11.02.2012, 14:04

ollie3

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hallo dennis,
bin den beweis durchgegangen, scheint alles richtig und vollständig zu sein. Freude