Komplexe Zahlen potenzieren

09.02.2012, 13:35

madinux

Komplexe Zahlen potenzieren

Hallo,

ich muss die folgende Aufgabe lösen:
$\begin{eqnarray*} {\left( e^{i \frac{3}{4} \pi} \right)}^{2012} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis sollte -1. Aber irgendwie steh ich da voll auf dem Schlauch was man machen kann.
Das Einzige was mir einfallen würde wäre:
$\begin{eqnarray*} {\left( e^{i \frac{3}{4} \pi 2012} \right)} \end{eqnarray*}$

Aber das wars dann auch traurig

Gruß madinux

09.02.2012, 13:58

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Na rechne es doch aus im Exponenten:

$\begin{eqnarray*} e^{i \frac{3}{4} \pi 2012} = e^{i\cdot 1509\pi} \end{eqnarray*}$

Und dann die Euler-Formel $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi}=\cos(\varphi) + i\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ ...

09.02.2012, 14:30

madinux

Auf diesen Beitrag antworten »

ähm...okay vielleich hab ich mich bisschen schlecht ausgedrückt...
was ist denn $\begin{eqnarray*} cos(\frac{1509 \pi}{4}) \end{eqnarray*}$ oder eben der sin davon?
kann man das nicht irgendwie runterrechnen auf was einfaches?
also dass man praktisch nur ein $\begin{eqnarray*} \varphi \epsilon [0, 2\pi] \end{eqnarray*}$ ?

09.02.2012, 14:35

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe eigentlich davon aus, dass du irgendwann in der Schule gelernt hast, dass Sinus und Kosinus $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch sind. Augenzwinkern

P.S.: Und was soll dieses Viertel hier

Zitat:

Original von madinux
was ist denn $\begin{eqnarray*} cos(\frac{1509 \pi}{4}) \end{eqnarray*}$ oder eben der sin davon?

das habe ich so nicht geschrieben. unglücklich

09.02.2012, 14:41

madinux

Auf diesen Beitrag antworten »

ups stimmt ... sorry tippfehler

RICHTIG Freude

aber irgendwie steh ich da auf dem schlauch wie ich das runterbreche.

Würde dieser Ansatz gehen:
$\begin{eqnarray*} 1509 \pi = 2k\pi \end{eqnarray*}$ ?

09.02.2012, 14:44

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Güte ... wieviele Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ musst du abziehen, dass du in das Grundintervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ kommst? D.h., so dass

$\begin{eqnarray*} 0\leq 1509\pi - k\cdot 2\pi = (1509-2k)\pi < 2\pi \end{eqnarray*}$

gilt?

09.02.2012, 14:59

madinux

Auf diesen Beitrag antworten »

754-mal ...

09.02.2012, 15:16

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt - na dann weiter!

09.02.2012, 21:05

madinux

Auf diesen Beitrag antworten »

Demnach gilt also:
$\begin{eqnarray*} 1509 \pi - 754 \cdot 2 \pi = 1 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \varphi = 1\pi \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \cos(\pi) + i sin(\pi) = -1 + 0 = -1 \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Zahlen potenzieren

Verwandte Themen