Eigenschaften von Relationen
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09.02.2012, 14:34 Gerior Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften von Relationen
Meine Frage:
Ich bin mir bei folgenden Aussagen unsicher:

Wenn R1 und R2 Relationen über {0,1,2} sind und R1 ist Teilmenge von R2, dann gilt folgendes:

- Ist R1 reflexiv, dann ist auch R2 reflexiv.
- Ist R1 symmetrich, dann muss R2 nicht unbedingt symmetrisch sein.

Meine Ideen:
Laut Definition ist R1 reflexiv, wenn folgednes gilt:

Für alle Elemmente a aus {0,1,2}, existiert ein (a,a) Element in R1.

Also könnte R1 so aussehen: R1 = {(0,0), (1,1), (2,2)}, aber könnte es auch so aussehen: R1 = { (0,0) } ?
Denn, wenn letzteres möglich wäre, dann wäre die erste Aussage ja falsch, denn R2 könnte ja so aussehen: R2 = {(0,0), (1,2)} und somit wäre R2 nicht reflexiv, obwohl R1 Teilmenge von R2 ist.

Zur zweiten Aussage:

Laut Definition ist R1 symmetrisch, wenn olgendes gilt:

Für alle Elemente a,b aus {0,1,2}, für die ein Element (a,b) in R1 existiert, existiert auch ein Element und (b,a) in R1.

Also könnte R1 so aussehen: R1 = {(0,1), (1,0)}.
Wenn R2 = {(0,1), (1,0), (1,1)}, dann ist R1 eine Teilmenge von R2, aber R2 ist nicht symmetrisch.

So aber warum ist die erste Aussage angebich war?
09.02.2012, 14:47 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von Relationen
Zitat:
Original von Gerior
Also könnte R1 so aussehen: R1 = {(0,0), (1,1), (2,2)}, aber könnte es auch so aussehen: R1 = { (0,0) } ?
Nein, denn dann wäre R1 zwar reflexiv auf {0}, jedoch nicht auf {0,1,2}
Dass R1 reflexiv auf {0,1,2} ist, impliziert schon:


Zitat:
Also könnte R1 so aussehen: R1 = {(0,1), (1,0)}.
Wenn R2 = {(0,1), (1,0), (1,1)}, dann ist R1 eine Teilmenge von R2, aber R2 ist nicht symmetrisch.
In diesem Falle wäre R2 aber auch symmetrisch
09.02.2012, 15:09 Gerior Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von Relationen
Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von Gerior
[quote]Also könnte R1 so aussehen: R1 = {(0,1), (1,0)}.
Wenn R2 = {(0,1), (1,0), (1,1)}, dann ist R1 eine Teilmenge von R2, aber R2 ist nicht symmetrisch.
In diesem Falle wäre R2 aber auch symmetrisch


Oh stimmt^^. Ist mir gar nicht aufgefallen. Dann so: R2 = {(0,1), (1,0), (2,1)}

Und mit anderen Worten bedeutet das, wenn eine Relation über einer Menge existiert und diese reflexiv ist, dann muss es auch wirklich für jedes Element aus der Menge ein (a,a) Tubel in der Relation geben. Bei Symmetrie und Transitivität hingegen gilt die jeweilige Eigenschaft nur innerhalb der Relation, also WENN ein Tupel (a,b) existiert, dann muss auch ein Tupel (b,a) existieren. Es müssen aber nicht alle Elemente aus der Menge vorkommen.

Somit heißt das, eine reflexive Relation über einer Menge hat immer genau so viele Elemente, wie die Menge selbst, aber eine symmetrische Relation kann auch weniger Elemente haben als 2*n, wenn n die Anzahl der Menge ist.

Ich hoffe, ich habe mich klar ausgedrückt...
09.02.2012, 15:18 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von Relationen
Zitat:
Original von Gerior
Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von Gerior
[quote]Also könnte R1 so aussehen: R1 = {(0,1), (1,0)}.
Wenn R2 = {(0,1), (1,0), (1,1)}, dann ist R1 eine Teilmenge von R2, aber R2 ist nicht symmetrisch.
In diesem Falle wäre R2 aber auch symmetrisch


Oh stimmt^^. Ist mir gar nicht aufgefallen. Dann so: R2 = {(0,1), (1,0), (2,1)}
Ja, das wäre ein korrektes Beispiel für b).
Zitat:
Original von Gerior
Und mit anderen Worten bedeutet das, wenn eine Relation über einer Menge existiert und diese reflexiv ist, dann muss es auch wirklich für jedes Element aus der Menge ein (a,a) Tubel in der Relation geben.
Ja, das gilt nach Definition und hängt eben davon ab, über welcher Menge du die Relation definierst.

Zitat:
Original von Gerior
Bei Symmetrie und Transitivität hingegen gilt die jeweilige Eigenschaft nur innerhalb der Relation, also WENN ein Tupel (a,b) existiert, dann muss auch ein Tupel (b,a) existieren.
Ja, auch das ist die Definition.
Zitat:
Original von Gerior
Somit heißt das, eine reflexive Relation über einer Menge hat immer genau so viele Elemente, wie die Menge selbst,
..mindestens so viele...


Zitat:
Original von Gerior
aber eine symmetrische Relation kann auch weniger Elemente haben als 2*n, wenn n die Anzahl der Menge ist.
Ja.

Insbesondere ist die "leere Relation" auch ein Beispiel für eine symmetrische Relation.
09.02.2012, 15:22 Gerior Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke für die Richtigstellung und Hilfe!
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