Schnittgerade, Ebenengleichung

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MarkusEL Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittgerade, Ebenengleichung
Hallo,

folgende Aufgabenstellung haben wir gegeben:

Gegeben seien die Ebenen E_1 : und E_2 :

Bestimme

a) die Schnittgerade g von E_1 und E_2
b) die Ebene, die den Punkt und die Schnittgerade g enthält
c) die Ebene, die durch P geht und senkrecht auf g steht
d)die Ebene, die durch P geht und auf dem Ortsvektor von P senkrecht steht



zu a) meine Idee war zu setzen...Ebene 2 nach x umzustellen, in Ebene 1 einzusetzen und das y dann wiederrum in Ebene 2 einzusetzen

heraus bekomme ich:



Als Schnittgerade erhalte ich dann



bei b) habe ich den Punkt P als Stützvektor und die beiden Punkte der Gerade als Spannvektoren der Ebene genommen, wobei ich den Parameter gesetzt habe und mir dadurch den 2. Punkt errechnet habe.

damit komm ich auf eine Ebenengleichung





bei c) hab ich den Richtungsvektor der Gerade als Normalenvektor der gesuchten Ebene genommen und in diese dann den Punkt P eingesetzt...damit bin ich dann auf die rechte Seite gekommen und somit auf folgende Ebenengleichung





Meine Frage nun, kann man das alles so machen?
Und wie wäre der Ansatz für d)

...dazu is mir noch nichts eingefallen.

Danke im Vorraus!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

a) und c) stimmt

Bei b) musst du nur an die Gerade noch einen Vektor dranhängen, der durch P und einen Punkt der Geraden verläuft.

d) ist ähnlich wie c) nur dass man hier auf einen Normalenvektor der Ebene kommt, wenn man sich überlegt dass OP senkrecht zu dieser Ebene liegen soll.

Ich hoffe das hilft weiter.

Gruß Björn
MarkusEL Auf diesen Beitrag antworten »

Also würde die Gleichung bei d) dann wie folgt aussehen:

?

Noch eine Frage, wie bestimmt man die Gleichungen von Ebenen,die zu einer gegeben Ebene einen gewissen Abstand haben sollen?

Danke schonmal!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittgerade, Ebenengleichung
scheint alles zu stimmen,
b) geht einfacher: nimm die gerade + den vektor(aufpunkt-P).

alles könntest ein bißchen schöner machen
a) setze x = -t

(oder bei dir r = t +1)
damit bekommst du

bitte überrüfe die vektoren.
c) mit 4 multiplizieren und kontrollieren:
E: x + y - z = 3
d) wo ist das problem.
der ortsvektor von P ist:

und jetzt wendest du methode c) an.

nur der ordnung halber: E ist KEIN vektor, also pfeil weg Big Laugh
werner
MarkusEL Auf diesen Beitrag antworten »

Huppala...der Pfeil stand durchs kopieren von latex noch da Augenzwinkern

Ok...die Gleichung für d) habe ich in meinem vorhergehenden Post stehen...dürfte ja stimmen

Aber wie bestimmt man die Gleichungen von Ebenen, die zu einer gegeben Ebene einen gewissen Abstand haben sollen?

Konkret am Beispiel:




...und der Abstand der gesuchten, parallelen Ebenen zu dieser Ebene soll 4 betragen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

mit hilfe der HNF





hoffentlich verwirrt
werner
 
 
MarkusEL Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab als HNF



heraus und erhalte für
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MarkusEL
Also ich hab als HNF



heraus und erhalte für


was soll das sein?




werner
MarkusEL Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wernerrin
Zitat:
Original von MarkusEL
Also ich hab als HNF



heraus und erhalte für


was soll das sein?

werner


Die Hessesche Normalform:




also



Stimmt wohl nicht?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

in dieser form, idee stimmt das nicht.
das ist die normalvektorform, und damit kannst du NICHT den abstand eines punktes von E bestimmen, sondern du bestimmst das d, indem du einen punkt der ebene einsetzt!

a, b, c und d sind bekannt!

und wenn du her die koordinaten eines punktes einsetzt, bekommst du dessen abstand von E.
kannst es ja mal probieren, indem du P(2/2/12) für E1 und Q(-1/-1/0) für E2 in der HNF von E einsetzt.
werner
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