Integral cos(x)cos(xn)*x

09.02.2012, 16:07

Julian21

Integral cos(x)*cos(x*n)*x

Integral cos(x)*cos(x*n)*x dx

Hab das Integral.
Wie löse ich es auf?
Partielle Integration? Hab leider überhaupt keinen Ansatz unglücklich

Danke

09.02.2012, 16:09

Julian21

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Ich verbesser mich: cos(x)*sin(x*n)*x

09.02.2012, 16:35

original

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Zitat:

Original von Julian21
Ich verbesser mich: cos(x)*sin(x*n)*x

?
.. lohnt es sich, abzuwarten, ob noch mehr "Verbesserungen" kommen verwirrt

oder willst du nun bei diesem Problemchen bleiben:

$\begin{eqnarray*} \int \! x\cdot cos(x) \cdot \sin(n\cdot x) \, dx = ? \end{eqnarray*}$

.

09.02.2012, 16:38

Julian21

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Das wäre mein Problemchen. Keine weitere Verbesserung. smile

Mein Gedanke wäre jetzt, zuerst zu substituieren & dann partiell ableiten.
Anschließend Rücksubstitution.

Ist der Ansatz korrekt?

Allerdings wäre dann meine Frage, was hier die beste Substitution sei....
Dankeschön im Voraus.

09.02.2012, 16:50

René Gruber

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Produkte von Winkelfunktionen sind schwieriger zu integrieren als Summen. Deswegen ist es vorteilhaft, vorher den Integranden umzuschreiben: Aus

$\begin{eqnarray*} \sin((n\pm 1)x) = \sin(nx)\cos(x) \pm \cos(nx)\sin(x) \end{eqnarray*}$

folgt $\begin{eqnarray*} 2\sin(nx)\cos(x) = \sin((n+1)x)+\sin((n-1)x) \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} \int \cos(x)\sin(nx)\cdot x ~ \dd x = \frac{1}{2} \int (\sin((n+1)x)+\sin((n-1)x))\cdot x ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Ab hier dann wie gehabt partielle Integration.

09.02.2012, 16:54

original

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also:

$\begin{eqnarray*} \int \! x\cdot cos(x) \cdot \sin(n\cdot x) \, dx = ? \end{eqnarray*}$

Vorschlag :
schau erst mal in deine Formelsammlung

da gibt es schöne Formeln für "Summen und Produkte" trigonometrischer Funktionen

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} 2\cdot \cos(\gamma )\cdot \sin(\delta ) = \sin(\alpha ) - \sin(\beta ) \end{eqnarray*}$

so könntest du dein Problem auf zwei Integrale vom Typ

$\begin{eqnarray*} c\cdot \int\! x\cdot \sin(m\cdot x) \, dx \end{eqnarray*}$

zurückführen, die du beide mit partieller Integration leicht lösen kannst.

probiers..

oh - ich sehe gerade, dass ein Star dir schon den Weg beleuchtet..

09.02.2012, 16:59

René Gruber

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@original

Der Stern geht gleich aus, denn ich muss weg. Big Laugh

Also mach mal bitte hier weiter.

09.02.2012, 17:06

Julian21

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Vielen Dank schon Mal. Konnte es soweit nachvollziehen & hab es selber nochmal gerechnet & bin bis hierher gekommen.

Zitat:

Original von René Gruber

$\begin{eqnarray*} \int \cos(x)\sin(nx)\cdot x ~ \dd x = \frac{1}{2} \int (\sin((n+1)x)+\sin((n-1)x))\cdot x ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Ab hier dann wie gehabt partielle Integration.

Hab aber noch irgendwie Probleme mit dem Teil:

[sin((n+1)x)+sin((n-1)x)]*x

unglücklich

09.02.2012, 18:40

El-Patros

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Ich wüsste da auch nicht weiter...

Wie würde man dort jetzt Partiell ableiten? Interessiert mich auch mal...
lg

09.02.2012, 18:48

HAL 9000

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Wähle

$\begin{eqnarray*} u'(x) = \frac{1}{2} (\sin((n+1)x)+\sin((n-1)x)) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v(x) = x \end{eqnarray*}$ ,

dann ist

$\begin{eqnarray*} u(x) = -\frac{1}{2(n+1)} \cos((n+1)x)-\frac{1}{2(n-1)}\cos((n-1)x)) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v'(x) = 1 \end{eqnarray*}$ ,

das sollte aber als Starthilfe für die partielle Integration $\begin{eqnarray*} \int u'v ~ \dd x = uv - \int uv' ~ \dd x \end{eqnarray*}$ nun wirkllich ausreichen.

P.S.: Wie man leicht sieht, gelten diese Betrachtungen natürlich nur für $\begin{eqnarray*} |n|\neq 1 \end{eqnarray*}$ . Die Spezialfälle $\begin{eqnarray*} n=\pm 1 \end{eqnarray*}$ bedürfen einer Extrabetrachtung, so denn diese Werte hier auch in Frage kommen können. Augenzwinkern

09.02.2012, 18:51

El_Patros

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Das ist mir klar... Aber setz das mal ein. Da kommt eine ellenlange Gleichung raus & das integral wird nicht einfacher.

09.02.2012, 18:54

HAL 9000

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Unfug - im Restintegral verbleiben reine trigonometrische Funktionen, ohne Faktor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Wenn das keine Vereinfachung ist!

09.02.2012, 19:04

El_patros

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Für mich ist da keine Vereinfachung... Sorry.

09.02.2012, 19:15

HAL 9000

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Dann wollen wir abwarten, ob sich Julian21 beim Durchlesen und -denken mehr Mühe gibt.

09.02.2012, 19:16

sulo

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@HAL

El_patros = Julian21 Augenzwinkern