Algebra die keine Sigma-Algebra ist

09.02.2012, 16:24

Duude

Algebra die keine Sigma-Algebra ist

Hey an alle,
ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ eine Algebra aber keine sigma-Algebra ist.
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}:=\{A \in \Omega: \end{eqnarray*}$ A oder $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ ist endlich $\begin{eqnarray*} \} \end{eqnarray*}$
Dabei sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ beliebige abzählbare nichtleere Menge.

Unten seht ihr meinen Lösungsansatz. Dazu habe ich zwei grundsätzliche Fragen:
1. Wenn $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ abzählbare Menge ist, schließt das abzählbar unendlich mit ein?
Denn falls nicht wäre ja $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ endlich und damit auch jede Teilmenge endlich, sodass die Algebra trivialerweise erfüllt wäre..
2. Ich bin mir bei dem Beweis von c1 unsicher - unten habe ich aufgeführt, wie ich versucht habe über Fallunterscheidung vorzugehen..

Definition Algebra:
a1) Leere Menge liegt in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
b1) $\begin{eqnarray*} A \in \mathfrak{A} \Rightarrow \Omega/A \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
c1) $\begin{eqnarray*} A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$

Definition Sigma-Algebra
a2)=a1)
b2)=b1)
c2) Ist $\begin{eqnarray*} A_n \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so ist auch $\begin{eqnarray*} \bigcup_{n=1}^{\infty} \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$

Zuerst zeige ich also, dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ eine Algebra ist, dazu sind die Axiome abzuarbeiten:
a1) Leere Menge liegt in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ , da die leere Menge endlich ist. Und damit ist die Leere Menge oder ihr Komplement endlich.
b1) Wenn A in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ liegt, dann bedeutet das, dass A oder das Komplement von A endlich sind. Also liegt auch das Komplement von A in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
c1) Hier habe ich etwas Probleme:
Ich weiß also, dass A und B in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ liegen, damit ist entweder A oder das Komplement von A endlich sowie B oder das Komplement von B endlich.
Ich habe jetz versucht über 4 Fälle vorzugehen.

Angenommen: A und B sind endlich, dann ist auch die Vereinigung endlich.
Angenommen A Komplement und B Komplement sind endlich (damit A und B nicht endlich) dann gilt $\begin{eqnarray*} (A \cup B) \end{eqnarray*}$ ist nicht endlich und damit $\begin{eqnarray*} (A \cup B)^c \end{eqnarray*}$ endlich. (stimmt das so ? Da war ich mich unsicher...)
Angenommen A ist endlich und B ist nicht endlich, dann ist die Vereinigung von A und B nicht endlich, dafür aber ihr Komplement (da $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ endlich ist.
Analog für B ist endlich und A ist nicht endlich.

Im Folgenden ist dann noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ keine Sigma-Algebra ist. Da die Axiome 1 und 2 gleich sind wie die von der Algebra, ist also zu zeigen, dass Axiom 3 der Sigma-Algebra nicht erfüllt ist.
Dazu habe ich mir überlegt, dass man über die einelementigen Teilmengen von Omega vorgehen könnte. Da Omega abzählbar ist, ist auch die Vereinigung von allen einelementigen Mengen mit geradem Index abzählbar. Außerdem ist die Vereinigung von allen einelementigen Mengen mit ungeradem Index abzählbar. Damit sind beide Mengen nicht endlich und Axiom c2 gilt nicht.

Was meint ihr zu meinen Ansätzen?
Freue mich über alle Hinweise.
lg Duude

09.02.2012, 16:40

Math1986

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RE: Algebra die keine Sigma-Algebra ist

Zitat:

Original von Duude
1. Wenn $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ abzählbare Menge ist, schließt das abzählbar unendlich mit ein?

Ja klar, sonst stünde da "endlich" Augenzwinkern

Die Argumentation zur Algebra stimmt soweit.

Deine Gegenargumentation zu b) ist ohne konkrete Definition der Mengen nicht haltbar, geht aber schonmal in die richtige Richtung Augenzwinkern

Versuch mal ein konkretes Gegenbeispiel mit konkreten Mengen anzugeben.

09.02.2012, 16:55

René Gruber

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Zitat:

Original von Duude
1. Wenn $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ abzählbare Menge ist, schließt das abzählbar unendlich mit ein?

Sie muss hier sogar abzählbar unendlich sein, damit es als Gegenbeispiel taugt. Das müsstest du beim genauen Durchdenken deiner an sich schon passenden, aber - wie Math1986 schon sagte - noch sorgfältiger zu formulierenden Argumente auch merken.

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