n-te Stammfunktion der Logarithmusfunktion

09.02.2012, 19:01

0Jannik0

n-te Stammfunktion der Logarithmusfunktion

Ich suche die n-te Stammfunktion der Logaritmusfunktin, also von f(x)=ln(x).

Die "normale" Stammfunktion ist klar, F(x)=x(lnx-1) .

Nun habe ich diese Stammfunktion nochmals integriert, wodurch ich

F(x)=(1/4)x² * (2*lnx-3)

nun erhalte.

Diese nochmals integriert, erhalte ich

F(x)=(1/36)x³ * (6*lnx-11)

Dadurch ist ja nun klar, dass die n-te Stammfunktion eine Funktion der Form

F(x)=(1/a)x^n * (b*lnx-c)

sein wird.

Auf die allgemein Form komme ich dadurch jedoch trotzdem nicht :/

(Im Endeffekt suche ich die n-te Stammfunktion um sie dann über vollständige Induktion zu beweisen)

09.02.2012, 20:23

Helferlein

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Ohne es jetzt geprüft zu haben, würde ich aufgrund der drei Funktionen auf $\begin{eqnarray*} a=b^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=2b-1 \end{eqnarray*}$ tippen.

09.02.2012, 20:49

gonnabphd

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Hi,

In so einem Falle sucht man nach einer Rekursion. Wie du schon beobachtet hast, hat die n-te Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F_n(x) \end{eqnarray*}$ , welche (das entnehme ich mal deinen Formeln) definiert ist über

$\begin{eqnarray*} F_0(x) = \ln x, \quad F_n(x) = \int_0^x F_{n-1}(s) \, ds \end{eqnarray*}$

höchstwahrscheinlich die Form

$\begin{eqnarray*} F_n(x) = a_n x^n + b_n x^n \ln x \end{eqnarray*}$

Damit kannst du eine Rekursion für die so definierten Folgen $\begin{eqnarray*} a_n, \, b_n \end{eqnarray*}$ herleiten:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}x^{n+1} + b_{n+1}x^{n+1} \ln x &=& F_{n+1}(x) \\ &=& \int_0^x F_n(s)\, ds \\ &=& \int_0^x a_n s^n + b_n s^n \ln s \, ds \end{eqnarray*}$

Integriere letzteres (den zweiten Summanden z.B. mittels partieller Integration) und leite somit die benötigte Rekursion her. Löse anschliessend die Rekursion, wobei $\begin{eqnarray*} a_0 = 0, \, b_0 = 1 \end{eqnarray*}$ zu setzen sind.

Grüsse smile

11.02.2012, 16:03

0Jannik0

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Bin jetzt schon weiter gekommen und habe die allgemeine Form so gut wie fertig, habe nur ein Problem mit einer Folge die nun in dieser vorkommt. Genauer gesagt handelt es sich um diese Folge, also

$\begin{eqnarray*} 0, 1, 3, 11, 25, 137, 49, 121 ... \end{eqnarray*}$

Auf der Seite wird die Folge beschrieben als "It appears that, if we discard the first term and set a(0)=1, then a(n) = denominator of n!(h(n)/h(n+1)) where h(n) is the n'th harmonic number = sum(1/k,k=1..n) "

Wenn aber für diese Folge gelten soll:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = n! * (\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}) / (\sum\limits_{k=1}^m \frac{1}{k} ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m=n+1 \end{eqnarray*}$

Dann kommen da bei mir ganz andere Werte raus, z.B.

$\begin{eqnarray*} a_{1}=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2}= \frac{18}{6} \end{eqnarray*}$

Wie ist diese Reihe also wirklich definiert, ich komme einfach nicht drauf :/

11.02.2012, 18:26

gonnabphd

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Dein Link funktioniert nicht, aber ich denke, du meinst das hier

Mit Mathematica bekomme ich folgende Werte für

$\begin{eqnarray*} b_n = n! \frac{h(n)}{h(n+1)}, \quad h(n) = \sum_{k=1}^n \frac1k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1 = \frac 23, \; b_2 = \frac{18}{11}, \; b_3 =\frac{132}{25}, \; b_4 = \frac{3000}{137}, \; b_5 = \frac{5480}{49}, \; b_6 =\frac{82320}{121} \end{eqnarray*}$

Die Nenner von diesen Brüchen entsprechen gerade deinen Werten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , wenn man bei deinem dritten Wert $\begin{eqnarray*} a_2 = 3 \end{eqnarray*}$ startet.
Dies ist die Vermutung, welche in einem der Kommentare steht

Zitat:

It appears that, if we discard the first term and set a(0)=1, then a(n) = denominator of n!(h(n)/h(n+1)) where h(n) is the n'th harmonic number = sum(1/k,k=1..n) [From Gary Detlefs (gdetlefs(AT)aol.com), Sep 09 2010]

Da die Vermutung - so denke ich - nicht bewiesen ist (sonst wäre das wahrscheinlich updated worden), wirst du wohl auch nicht so leicht eine geschlossene Form für deine Werte $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ finden können (wenn du eine solche findest, dann hast du vermutlich gerade etwas herausgefunden, was noch keiner vor dir geschafft hat Augenzwinkern

)

Grüsse

p.s. Sehr interessant, dass da die harmonische Reihe auftaucht! =)

12.02.2012, 21:20

0Jannik0

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Ahh, jetzt kapier ich die ganze Geschichte. Na toll, das scheint wohl nicht so einfach zu werden :/

Zitat:

Original von gonnabphd
Da die Vermutung wohl nicht bewiesen ist (sonst wäre das wohl updated worden), wirst du wohl auch nicht so leicht eine geschlossene Form für deine Werte $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ finden können (wenn du eine solche findest, dann hast du vermutlich gerade etwas herausgefunden, was noch keiner vor dir geschafft hat Augenzwinkern

)

Wenn ich jetzt keine "geschlossene" Form für diese Reihe finden kann (bzw. vielleicht existiert diese garnicht?) kann ich meinen Gedanken das ganze über vollständige Induktion zu beweisen wohl wieder vergessen, nicht wahr?

Sollte ein Teil meiner Facharbeit werden..

12.02.2012, 21:54

gonnabphd

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Sieht ganz danach aus. Aber sicher bin ich mir nicht. Ich hab nicht recherchiert, ob man vielleicht doch mehr über eine explizite Darstellung weiss, als dort steht.

Grüsse

15.02.2012, 17:33

0Jannik0

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Habe gestern nochmal mit meiner Matehlehrerin gesprochen, sie meinte zwar sie hat die Induktion für eine allgemeine Stammfunktion auch noch nicht probiert, aber würde sich selber mal dran setzten. Ich bin wirklich gespannt Big Laugh

Jetzt habe ich für meine Facharbeit einfach mal die n-te Ableitung der Logaritmusfunktion bewiesen. Nicht wirklich schwer und auch nichts wirklich besonderes. Auch der Beweis für eine Produktregel für n Faktoren ging relativ simpel über die Hand.

Jedoch finde ich im Internet keine weiteren Ideen, welche Thematiken sich im Bezug auf Differential- und Integralrechnung noch über vollständige Induktion beweisen liesen. Hättet ihr noch Vorschläge? Vielleicht in Richtung e-Funktion oder ähnliches?

16.02.2012, 02:27

gonnabphd

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Spontan würden mir die allgemeine Leibnizregel für das Produkt zwerier Funktionen und die Formel von Faa di Bruno einfallen.

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