Differenzierbarkeit von Potenzreihe

09.02.2012, 22:28

Mathe92

Differenzierbarkeit von Potenzreihe

Hallo ich verstehe einen Beweis (Folgerung) nicht ganz, könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen?

In meinem Script steht zu dem Satz:
Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} x^{n} \end{eqnarray*}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius p>0 .
Dann ist f in $\begin{eqnarray*} \left(-p,p\right) \end{eqnarray*}$ differenzierbar und und die Potenzreihe darf gliederweise differenziert werden.

Beweis: Folgt direkt aus a) und b)

a) Eine Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} x^{n} \end{eqnarray*}$ mit konvergenzradius konvergiert für jedes $\begin{eqnarray*} r\in \left(0,p\right) \end{eqnarray*}$ absolut und Gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} U_{r}(0)= \left\{z\in \mathbb C:|z|\leq r \right\} \end{eqnarray*}$ .

b) Es sei $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit a<b und $\begin{eqnarray*} f_{n}:\left[a,b\right] \to \mathbb K \end{eqnarray*}$ seien stetig differenzierbar Funktionen für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit den Eigenschaften:
i)die Folge $\begin{eqnarray*} f_{n}(c)\subset \mathbb K \end{eqnarray*}$ konvergiert für ein $\begin{eqnarray*} c\in \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$
ii) es existiert eine Funktion $\begin{eqnarray*} f^*:\left[a,b\right] \to \mathbb K \end{eqnarray*}$ derart, dass die folge $\begin{eqnarray*} f'_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f^* \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Dann konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig, die grenzfunktion f ist differenzierbar und die folge $\begin{eqnarray*} f'_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f'=f^* \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht ganz, wie das daraus folgt. Also aus a) folgt schon mal, dass im Konvergenzradius stetige Funktionen sind. Aber mehr erblicke ich irgendwie nicht.

Wäre froh wenn mir da jemand helfen könnte

09.02.2012, 22:43

gonnabphd

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Hi,

Ganz direkt kannst du die beiden Sätze nicht anwenden (aber fast). Betrachte die Folge

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \sum_{k=1}^n a_kx^k \end{eqnarray*}$

und versuche darauf b) anzuwenden. Zeige insbesondere, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f'_n(x) \end{eqnarray*}$ existiert innerhalb des Konvergenzbereichs $\begin{eqnarray*} (-p,p) \end{eqnarray*}$ der Reihe $\begin{eqnarray*} f(x) = \lim_n f_n(x) \end{eqnarray*}$

09.02.2012, 23:23

Mathe92

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Hi und danke

Ich weiß nur gerade nicht, wie ich dann auf die stetig Differenzierbarkeit schließen soll.
Denn das detzt b) ja vorraus. verwirrt

Vielleicht ist es auch einfach schon ein bisschen spät.

10.02.2012, 00:57

gonnabphd

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Zitat:

Ich weiß nur gerade nicht, wie ich dann auf die stetig Differenzierbarkeit schließen soll.

Stetige Differenzierbarkeit von was? (Die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ sind Polynome, falls du die meinst)

11.02.2012, 14:44

Mathe92

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Hallo
Stimmt! Das war echt ne blöde Frage Hammer

Ich betrachte
$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \sum_{k=1}^n a_kx^k \end{eqnarray*}$ mit der grenzfunktion f(x)

Da $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (-p,p) \end{eqnarray*}$ konvergent, lässt sich auch ein $\begin{eqnarray*} c\in\left[-p,p\right] \end{eqnarray*}$ mit dem $\begin{eqnarray*} f_n(c) \end{eqnarray*}$ konvergiert finden.
Somit ist Eigenschaft i) von Satz b) erfüllt.

Da für den Konvergenzradius p gilt,
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} =\lim_{n \to \infty } Sup \sqrt[n]{|a_{n}| } =\lim_{n \to \infty } Sup \sqrt[n-1]{n|a_{n}| } \end{eqnarray*}$
Hat $\begin{eqnarray*} f_n' \end{eqnarray*}$ den gleichen Konvergenzradius wie $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ und somit konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n' \end{eqnarray*}$ in (-p,p) gleichmäßig gegen eine funktion f*.
Damit ist die Eigenschaft ii) von satz b) erfüllt.

Und aus Satz b folgt dann, das $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist.

qed

Ich weiß jetzt nur nicht wozu ich noch Satz a) brauche. Habe ich irgendetwas übersehen?

Wink

11.02.2012, 14:50

gonnabphd

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Hi,

Jep. Da habe ich keine Einwände.

Zitat:

Ich weiß jetzt nur nicht wozu ich noch Satz a) brauche. Habe ich irgendetwas übersehen?

Hier

Zitat:

[...]
Hat $\begin{eqnarray*} f_n' \end{eqnarray*}$ den gleichen Konvergenzradius wie $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ und somit konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n' \end{eqnarray*}$ in (-p,p) gleichmäßig gegen eine funktion f*.
[...]

hast du a) implizit für den Nachweis der gleichmässigen Konvergenz der abgeleiteten Reihe benutzt.