Hauptideal ist maximal in booleschen Ringen

09.02.2012, 23:04

Naseweis

Hauptideal ist maximal in booleschen Ringen

Meine Frage:
Hallo,

ich würde gerne zeigen, dass in einem booleschen Ring R jedes Hauptideal P maximal ist. Ich habe diese Aussage mit einer Beweisskizze im Internet gefunden, allerdings sind mir die einzelnen Schritte nicht wirklich klar.

Meine Ideen:
Der erste Schritt der Skizze ist, dass R/P ein Integritätsbereich ist. Ein boolscher Ring ist ja ein kommutativer Ring mit 1, aber wieso muss dann der Faktorring auch noch nullteilerfrei sein?

Danach folgt, dass R/P dann ebenfalls ein boolscher Ring ist (?) und dementsprechend isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ . Hieraus folgt dann letzendlich, dass P maximal ist. Ich nehme mal an, weil $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ ein Körper ist und ein Ideal I genau dann maximal ist, wenn R/I ein Körper ist?

Also wie gesagt, dass mit dem Integritätsbereich ist mir nicht ganz klar...

10.02.2012, 07:49

jester.

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Kann es sein, dass du eigentlich die folgende Aussage (und Beweisskizze) aus der englischen Wikipedia meinst?

Zitat:

Every prime ideal P in a Boolean ring R is maximal: the quotient ring R/P is an integral domain and also a Boolean ring, so it is isomorphic to the field F2, which shows the maximality of P. Since maximal ideals are always prime, prime ideals and maximal ideals coincide in Boolean rings.

Wenn man ein Primideal $\begin{eqnarray*} \mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ aus einem (kommutativen) Ring herausfaktorisiert, erhält man immer einen Integritätsbereich, was nicht schwer zu beweisen ist.
Hier soll nun $\begin{eqnarray*} R/\mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ weiterhin ein Boolescher Ring sein. Also einfach mal ausprobieren: $\begin{eqnarray*} (x+\mathfrak{P})^2 = x^2 + \mathfrak{P} = x+\mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ - schließlich wird im Faktorring vertreterweise multipliziert und der Vertreter entstammt bereits einem Booleschen Ring.
Sei nun $\begin{eqnarray*} x+\mathfrak{P} \neq \mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x\notin \mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber $\begin{eqnarray*} x^2-x=x(x-1) \in \mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x-1 \in \mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x+\mathfrak{P} = 1+ \mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} R/\mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ besteht also nur aus den zwei Restklassen $\begin{eqnarray*} \mathfrak{P}, ~ 1+\mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ und ist somit der Körper mit zwei Elementen.

Um die Tatsache $\begin{eqnarray*} \mathfrak{P} \text{ prim} \Rightarrow R/\mathfrak{P} \text{ Integritätsbereich} \end{eqnarray*}$ einzusehen, nimm dir mal zwei Restklassen $\begin{eqnarray*} x+\mathfrak{P}, ~ y+\mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ und nimm an $\begin{eqnarray*} (x+\mathfrak{P})(y+\mathfrak{P}) = xy + \mathfrak{P} = 0+\mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ . Daraus bekommst du die Aussage, dass $\begin{eqnarray*} xy \in \mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ . Verwenden nun, dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak{P} \end{eqnarray*}$ prim ist.

Beachte also den Unterschied zwischen prime ideal und principal ideal. Warum jedes Hauptideal maximal sein sollte, sehe ich gerade nicht.

10.02.2012, 09:34

Naseweis

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Hallo jester,

vielen Dank für deine Antwort.
Du hast Recht, dass ist wirklich der gleiche Artikel....ich habe im Internet zufällig eine automatische Übersetzung gefunden, die Primideal mit Hauptideal übersetzt hat... unglücklich

Das ein Primideal maximal ist, hatte ich sogar in der Vorlesung...dann ist also alles gut smile

Gruß,
Naseweis

10.02.2012, 10:13

jester.

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Ich habe noch ein Beispiel dafür, dass Hauptideale nicht maximal sein müssen. Man betrachte als Booleschen Ring die Potenzmenge der dreielementigen Menge $\begin{eqnarray*} \{a,b,c\} \end{eqnarray*}$ mit der symmetrischen Differenz $\begin{eqnarray*} \triangle \end{eqnarray*}$ als Addition und dem Durchschnitt $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ als Multiplikation. Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{R}:=(\mathrm{Pot}(\{a,b,c\}),\triangle, \cap) \end{eqnarray*}$ ein achtelementiger Boolescher Ring.
Das Ideal $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , das von $\begin{eqnarray*} \{a\} \end{eqnarray*}$ erzeugt wird, ist zweielementig und der Faktorring $\begin{eqnarray*} \mathcal{R}/I \end{eqnarray*}$ ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \oplus \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ , also ist es nicht maximal (und nicht prim).
In der Tat liegt das echte Ideal $\begin{eqnarray*} \langle \{a,b\}\rangle \triangleleft \mathcal{R} \end{eqnarray*}$ noch drüber.

11.02.2012, 01:06

Naseweis

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Danke Dir!

So langsam wird es klarer. smile

A propos Potenzmenge. Hast Du mir einen Anhaltspunkt, wie ich den Isomorphismus zwischen einem beliebigen boolschen Ring und der Potenzmenge definiere?

12.02.2012, 13:08

jester.

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Verfahre in zwei Schritten: Zeige zunächst, dass ein endlicher Boolescher Ring $\begin{eqnarray*} \mathcal{R} \end{eqnarray*}$ isomorph ist zu $\begin{eqnarray*} \bigoplus_{i=1}^r \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} r\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , indem du eine Induktion nach $\begin{eqnarray*} |\mathcal{R}| \end{eqnarray*}$ durchführst und im Induktionsschritt eine Idempotentzerlegung $\begin{eqnarray*} \mathcal{R}=\mathcal{R}e\oplus\mathcal{R} (1-e) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} e \notin \{ 0 ,1 \} \end{eqnarray*}$ verwendest.

Zeige nun, dass der Ring $\begin{eqnarray*} \mathrm{Pot}(M) \end{eqnarray*}$ für endliche Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ isomorph ist zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2^{|M|} \end{eqnarray*}$ , indem du eine Menge auf ihre charakteristische Funktion (als elementweises Tupel notiert) abbildest.

Damit erhältst du die gewünschte Aussage.

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