Potenzen vereinfachen

10.02.2012, 15:06

Tipso

Potenzen vereinfachen

Hi,

Hier die Aufgabe und mein Lösungsvorschlag.

$\begin{eqnarray*} \left((x/2\right)^{-3})/x = \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \left(x^{-3} *2^{-3}/x\right) \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \left(1/x^4*8\right) \end{eqnarray*}$

lg

10.02.2012, 15:23

gast2011

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RE: Potenzen Vereinfachen
Wie kommst Du von der 1. Zeile $\begin{eqnarray*} \quad\left((x .../... 2 \right)^{-3})/x = \end{eqnarray*}$

in der 2. Zeile auf $\begin{eqnarray*} \quad\left(x^{-3} ...*...2^{-3}/x\right) \quad ? \end{eqnarray*}$

10.02.2012, 15:32

Tipso

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RE: Potenzen Vereinfachen

Zitat:

Original von gast2011
Wie kommst Du von der 1. Zeile $\begin{eqnarray*} \quad\left((x .../... 2 \right)^{-3})/x = \end{eqnarray*}$

in der 2. Zeile auf $\begin{eqnarray*} \quad\left(x^{-3} ...*...2^{-3}/x\right) \quad ? \end{eqnarray*}$

Großer Fehler.

$\begin{eqnarray*} \quad\left(x^{-3} .../...2^{-3}/x\right) \quad ? \end{eqnarray*}$

10.02.2012, 15:43

gast2011

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RE: Potenzen Vereinfachen
Freude

10.02.2012, 15:55

Tipso

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RE: Potenzen Vereinfachen

Zitat:

Original von gast2011
Freude

mein Endergebnis ist jedoch falsch.

10.02.2012, 16:25

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \left(x^{-3} /2^{-3}/x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(8/x^4\right) \end{eqnarray*}$

weil:

$\begin{eqnarray*} \left(1/2^{-3}\right) = \left(8\right) \left(x^{-3}\right) = \left(1/x^3\right) \left(x^{-3} /2^{-3}/x\right) = \left(1/x^3*2^{-3}\right) / \left(x\right) = \left(8/x^3\right)/\left(x\right) \end{eqnarray*}$ =

Heißt das das, 1/4 : 4 = 1/8 ??

lg

10.02.2012, 16:57

gast2011

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Zitat:

Original von Tipso
mein Endergebnis ist jedoch falsch.

$\begin{eqnarray*} \left(x^{-3} .../...2^{-3}/x\right) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1/x^3...*...2^{-3}\right) / \left(x\right) = \end{eqnarray*}$

Da ist er wieder der "Große Fehler"!
Die Umformung $\begin{eqnarray*} \quad x^{-3} = 1/x^{3}\quad \end{eqnarray*}$ ändert nicht das folgende Rechenzeichen!

Zitat:

Original von Tipso
Heißt das, dass 1/4 : 4 = 1/8 ??

Wohl kaum! Oder ist 4 : 4 = 8? (1/(4 : 4))
Laut Bruchrechnung dividiert man Brüche indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

1/4 * 1/4 = 1/16 (Weil 1/4 der Kehrwert von 4/1 ist!)

Anschaulicher Beweis: Du hast 1/4 Torte und teilst diese (gleichmäßig) in 4 Teile (gibst 3 ab) und behältst wie viel von der Torte?

10.02.2012, 17:02

Tipso

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ich bin wieder durcheinander. böse

10.02.2012, 17:07

Tipso

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Zitat:

Original von gast2011

Zitat:

Da ist er wieder der "Große Fehler"!
Die Umformung $\begin{eqnarray*} \quad x^{-3} = 1/x^{3}\quad \end{eqnarray*}$ ändert nicht das folgende Rechenzeichen!

$\begin{eqnarray*} \quad x^{-3} = 1/x^{3}\quad \end{eqnarray*}$

wenn dies alleine steht, stimmt es ?!

$\begin{eqnarray*} \left(x^{-3} .../...2^{-3}/x\right) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1/x^3.../...2^{-3}\right) / \left(x\right) = \end{eqnarray*}$

im Fall zwei, habe ich * mit / verwechselt, ein kopierfehler.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Warum ist dann :

$\begin{eqnarray*} \left(1/x^3*2^{-3}\right) = = \left(8/x^-3\right) und warum ist \left(1/x^3/x\right) = \left(1/x^4\right) \end{eqnarray*}$

10.02.2012, 17:38

giu

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Hi Tipso

gast2011 ist evtl. gerade beschäftigt, deshalb versuche ich Dir mit Deinen letzten Fragen zu helfen.

$\begin{eqnarray*} x^{-3} = \frac{1}{x^3} \end{eqnarray*}$ ist korrekt.

Die Gleichung ist so falsch. Kannst Du Dir anhand der obigen Gleichung nun vorstellen, warum sie falsch ist? Was muss $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^3} \cdot 2^{-3} = ? \end{eqnarray*}$ Deiner Meinung nach ergeben?

Der Bruch lautet $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x^3}}{x} \end{eqnarray*}$ . Versuche $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^3} \end{eqnarray*}$ wie oben umzuschreiben und wieder einzusetzen, und sieh ob Du so auf das gleiche Ergebnis kommst.

10.02.2012, 19:01

gast2011

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Zitat:

Original von Tipso
1. Ich bin wieder durcheinander.

2. Warum ist dann :

$\begin{eqnarray*} \left(1/x^3*2^{-3}\right) = = \left(8/x^-3\right) und \quad warum \quad ist 3. \left(1/x^3/x\right) = \left(1/x^4\right) \end{eqnarray*}$

Zu 1. Nein, Du setzt keine Klammern wo sie verdeutlichen könnten.

Zu 2. Meinst Du
$\begin{eqnarray*} 1/x^3*2^{-3} =\left(1/x^3)*(2^{-3}\right) =\frac{1}{x^3}*2^{-3} =\frac{1}{x^3}*\frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{x^3*2^{3}}= \frac{1}{8x^3} \end{eqnarray*}$
oder wohl eher
$\begin{eqnarray*} 1/x^3*2^{-3} =1/(x^3*2^{-3}) =\frac{1}{x^3*\frac{1}{2^{3}}} = \frac{2^{3}}{x^3} = \frac{8}{x^3} \end{eqnarray*}$

Zu3.
$\begin{eqnarray*} \left(1/x^3/x\right) = \left(1/x^4\right)\quad \end{eqnarray*}$ weil

$\begin{eqnarray*} \left(1/x^3/x\right) =(1/x^3)/(x) =\frac{1}{x^3}:x =\frac{1}{x^3}*\frac{1}{x} =\frac{1}{x^4} \quad \end{eqnarray*}$

10.02.2012, 19:10

Tipso

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Das ist sehr verwirrend für mich.

$\begin{eqnarray*} 1/x^3*2^{-3} =1/(x^3*2^{-3}) =\frac{1}{x^3*\frac{1}{2^{3}}} = \frac{2^{3}}{x^3} = \frac{8}{x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1/(x^3*1/2^3\right) \end{eqnarray*}$

Warum rutscht 1/2^3 in den Nenner als 2^3.
Das müsste doch eher lauten:

$\begin{eqnarray*} \left(1/x^3*2^3\right) \end{eqnarray*}$

lg

10.02.2012, 19:40

gast2011

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Zitat:

Original von Tipso
Das ist sehr verwirrend für mich.

Für mich auch. Setze KLAMMERN! Hilfreich könnten auch BRUCHSTRICHE statt / sein!

Zitat:

Original von Tipso
Warum rutscht 1/2^3 in den Nenner als 2^3.

Weil bei 1/2^3 eben der Zähler 1 und der Nenner 2^3 ist!

Zitat:

Original von Tipso
Das müsste doch eher lauten:
$\begin{eqnarray*} \left(1/x^3*2^3\right) \end{eqnarray*}$

Dann wäre ja

$\begin{eqnarray*} 1/(x^3*2^{-3}) = 1/(x^3*2^3) \end{eqnarray*}$

Das ist aber nicht so!

10.02.2012, 19:50

Tipso

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Verstehe, ich weiß nicht wie das hergeleitet werden kann.
Es ist einfach verwirrend weil das 2^{-3} über den Brauchstrich hüpft.
Also es müsste für mich mehr heißen

$\begin{eqnarray*} \left(1/x^3*2^3/1\right) \end{eqnarray*}$

Hier die nächsten und letzten 8 Aufgaben.
Danach sind wir fertisch. x)

10.02.2012, 20:01

Tipso

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$\begin{eqnarray*} ( \left((x^{-2}y)^3/(2xy^2)^3\right) / \left(2a^{-1}x/3by^{-3}\right) )*a^{-1}*b^{-3}/ 6*\left(x^{-3}y^{-1}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

10.02.2012, 20:03

gast2011

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Zitat:

Original von Tipso
... Es ist einfach verwirrend weil das 2^{-3} über den Brauchstrich hüpft. ...
$\begin{eqnarray*} \left(1/x^3*2^3/1\right) \end{eqnarray*}$

"das 2^{-3}" hüpft nicht über den Bruchstrich!
Es gibt eben mathematische Umformungen die zulässig sind.
Hier gilt eben: Was im Nenner im Nenner steht kommt in den Zähler!

Deine Schreibweisen sind einfach nicht eindeutig!

$\begin{eqnarray*} \left(1/x^3*2^3/1\right)=\left(1/x^3)*(2^3/1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1/x^3*2^3/1\right)=\left(1/(x^3*2^3)\right)/1 \end{eqnarray*}$

2 Schreibweisen 2 Aufgaben 2 Ergebnisse!

Was ist denn nun der komplette Rechenweg der Aufgabe?

10.02.2012, 20:09

Tipso

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Mein Problem ist eben das X^3 und 2^-3 beide im Zähler sind, also 1/2^-3 = 2^3/1.
1/x^3 .

So ergibt es für mich auch Sinn. Jedoch nicht wenn es heißt.

1/x^3*(1/2^3)

Hier verstehe ich nicht wie 1/(1/2^3) = 2^3/1

lg

11.02.2012, 00:08

giu

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Hi Tipso

Ich kann Dir bezüglich Potenzen mit negativen Exponenten folgenden Tipp geben: sobald Du solch eine Potenz siehst, sei es oberhalb oder unterhalb des Bruchstrichs, so kannst Du sie einfach auf die andere Seite des Bruchstrichs nehmen, und statt dem negativen einen positiven Exponenten schreiben.

Beispiele: $\begin{eqnarray*} \frac{2^{-3}}{1} = \frac{1}{2^3} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3^{-6}} = \frac{3^{6} \cdot 4}{1} = 3^{6} \cdot 4 \end{eqnarray*}$ . Zur letzten Umwandlung gibt es noch einen Zwischenschritt den ich Dir in den folgenden Zeilen erkläre.

Es geht nämlich um die Division durch einen Bruch, also $\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac{b}{c}} \end{eqnarray*}$ .

Das Vorgehen bei so einer Division lautet wie folgt: Durch einen Bruch (in unserem Fall $\begin{eqnarray*} \frac{b}{c} \end{eqnarray*}$ ) wird geteilt, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert (Wikipedia). Der Kehrwert eines Bruchs $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ ist dabei der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1 \end{eqnarray*}$ . Simply said, um den Kehrwert eines Bruchs zu erhalten vertauscht man lediglich Zähler und Nenner.

Du hast nun den folgenden Bruch gegeben: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{2^3}} \end{eqnarray*}$ . Verwenden wir nun das obengenannte Vorgehen, so erhalten wir folgendes: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{2^3}} = 1 \cdot \frac{2^3}{1} = \frac{2^3}{1} = 2^3 \end{eqnarray*}$

11.02.2012, 00:29

giu

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Hi Tipso

Addendum: Den Tipp kannst Du für Potenzen mit beliebigem Exponenten verwenden. Sobald Du solch eine Potenz siehst, sei es oberhalb oder unterhalb des Bruchstrichs, so kannst Du sie einfach auf die andere Seite des Bruchstrichs nehmen, und musst dabei nur den Exponenten negieren.

Diesen "Trick" kannst Du dabei nur dann anwenden, wenn Potenzen jeweils ausschliesslich miteinander multipliziert werden im Zähler resp. Nenner.

Beispielsweise darfst Du dieses Vorgehen bei $\begin{eqnarray*} \frac{2^{-3}+1}{7} \end{eqnarray*}$ so direkt nicht anwenden (zuerst gleichnamig machen), jedoch aber bei $\begin{eqnarray*} \frac{2^{-3} \cdot 5^{4}}{7^{-2}} = \frac{5^4 \cdot 7^2}{2^3} \end{eqnarray*}$ .

Zur letzten Umwandlung gibt es noch einen Zwischenschritt den ich Dir in den folgenden Zeilen erkläre. Es geht nämlich um die Division durch einen Bruch, also $\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac{b}{c}} \end{eqnarray*}$ .

11.02.2012, 01:01

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac{b}{c}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \left(a*c/b\right) \end{eqnarray*}$

oder

= $\begin{eqnarray*} \left(a*(c/b)\right) \end{eqnarray*}$

der Rest ist Gold. Thx.

11.02.2012, 11:36

gast2011

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac{b}{c}} \end{eqnarray*}$

Du verwendest zwar Bruchstriche aber die Aufgabe ist wieder nicht eindeutig!
Meinst du nun (Der obere Bruchstrich scheint der Hauptbruchstrich zu sein?)

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac{b}{c}}= a:\frac{b}{c}= a*\frac{c}{b}= \frac{ac}{b} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}:c= \frac{a}{b}*\frac{1}{c}= \frac{ab}{c} \end{eqnarray*}$

2 Aufgaben 2 Ergebnisse!

Zitat:

Original von Tipso
= $\begin{eqnarray*} \left(a*c/b\right) \end{eqnarray*}$
oder
= $\begin{eqnarray*} \left(a*(c/b)\right) \end{eqnarray*}$

Das ist das Gleiche! (Die Klammern um den Bruch c/b können (müssen aber nicht!) entfallen.
Du multiplizierst ja hier einen Bruch mit a.
Oben ist aber unklar ob Du den Bruch a/b durch c ODER a durch den Bruch b/c teilst!

Planvoll vorgehen:
1. Struktur erkennen
2. Vereinfachen, Auflösen, Umformen
3. Kürzen, Zusammenfassen

11.02.2012, 16:58

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}:c= \frac{a}{b}*\frac{1}{c}= \frac{ab}{c} \end{eqnarray*}$

eher

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}:c= \frac{a}{b}*\frac{1}{c}= \frac{a}{bc} \end{eqnarray*}$

oder ?

lg

12.02.2012, 01:23

gast2011

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Zitat:

Original von gast2011
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac{b}{c}}= a:\frac{b}{c}= a*\frac{c}{b}= \frac{ac}{b} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}:c= \frac{a}{b}*\frac{1}{c}= \frac{ab}{c} \end{eqnarray*}$

Sorry!

Natürlich ist

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}:c= \frac{a}{b}*\frac{1}{c}= \frac{a}{bc} \end{eqnarray*}$

Mein Guttenberg-Fehler!

Kannst Du nun den Unterschied vom Auffassen der Aufgabe zum unterschiedlichen Ergebnis erkennen?

12.02.2012, 14:35

Tipso

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Ich verstehe ihn x) LG

Hier die erste von den letzten 8 Aufgaben.

Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} ( \left((x^{-2}y)^3/(2xy^2)^3\right) / \left(2a^{-1}x/3by^{-3}\right) )*a^{-1}*b^{-3}/ 6*\left(x^{-3}y^{-1}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 17:56

gast2011

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Wie sieht Dein Rechenweg und -ergebnis aus?

(Angesichts der anderen "Baustellen" (Beiträge) wirst Du etwas Zeit zur Antwort brauchen.)

12.02.2012, 20:07

Tipso

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Ergebnis= 1/(32b^2*x^13*y^7)

12.02.2012, 20:59

gast2011

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Ist das das Ergebnis was Du errechnet hast, oder das was rauskommen soll?
Wie sieht Dein Rechenweg aus?

Ich habe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{5}x^{6}y^{5}} \end{eqnarray*}$ raus.

12.02.2012, 21:03

Tipso

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Ich glaube etwas an der Angabe stimmt nicht.

Hab ich raus und ist die Lösung laut Buch.

lg

12.02.2012, 21:13

gast2011

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Welche Angabe? Mein Ergebnis?
Dann zeige doch Deinen Rechenweg, damit ich die Fehler sehen kann.

12.02.2012, 21:15

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \left((x^{-2}y)^3/(2xy^2)^3\right / 2a^{-1}x/3by^{-3} )*a^{-1}*b^{-3}/ 6*\left(x^{-3}y^{-1}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left((x^{-6}*y^3 / 2^3*x^3*y^6) / 2xy^3/3*a*b\right) \left(1/2^3*x^9*y^3/2xy^3/3ab\right) \left(1/2^3*x^9*y^3*3ab/2xy^3\right) \left(3ab/2*2^3*x^{10}*y^6\right)*1/a*1/b^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(3/2*2^3*b^2*x^{10}*y^6\right) * \left(6*x^3*y\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(3/6*2*2^3*b^2*x^{13}*y^7\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1/32*b^2*x^{13}*y^7\right) \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 21:19

gast2011

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Ach, mal wieder Klammern nicht bzw. falsch gesetzt --> neue Aufgabe.
Deine Schussligkeit macht keine Freude! böse

12.02.2012, 21:37

Tipso

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Zitat:

Original von gast2011
Ach, mal wieder Klammern nicht bzw. falsch gesetzt --> neue Aufgabe.
Deine Schussligkeit macht keine Freude! böse

Ich bemühe mich. Tur mr leid.

13.02.2012, 09:49

gast2011

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Komme erst heute Nachmittag zur Antwort.

13.02.2012, 14:09

Tipso

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Zitat:

Original von gast2011
Komme erst heute Nachmittag zur Antwort.

13.02.2012, 14:37

gast2011

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} \left((x^{-2}y)^3/(2xy^2)^3\right / 2a^{-1}x/3by^{-3} )*a^{-1}*b^{-3}/ 6*\left(x^{-3}y^{-1}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left((x^{-6}*y^3 / 2^3*x^3*y^6) / 2xy^3/3*a*b\right) \end{eqnarray*}$

Mal abgesehen davon, dass die 1. Zeile mit "=" enden müsste, vermisse ich einige Terme bereits in der 2. Zeile!

$\begin{eqnarray*} \left((x^{-6}*y^3 / 2^3*x^3*y^6) / 2xy^3/3*a*b\right) * ?= \end{eqnarray*}$

1. Struktur erkennen:

$\begin{eqnarray*} Ich \quad sehe \quad ein \quad Produkt \quad aus \quad 4 \quad Faktoren \quad A*B*C*D! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Der Doppelbruch \quad A=\frac{\frac{E}{F}}{\frac{G}{H}}. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Mit \quad E=(x^{-2}y)^3, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F=(2xy^2)^3; \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G=2a^{-1}x \quad und \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H=3by^{-3}. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Dann \quad B=a^{-1}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C=\frac{b^{-3}}{6} \quad und \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D=(x^{-3}y{-1})^{-1}. \end{eqnarray*}$

13.02.2012, 14:43

Tipso

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Ich habe einzelne Teile ausgerechnet, danach diese zusammengefügt.

Meist habe ich auch schon gekürzt und das Ergebnis der Rechnung gepostet, da die Aufgabe extrem lang war bzw. ist.

Ich werde im laufe des Tages noch eine Aufgabe der selben Länge posten mitsamt gesamten Rechenweg. ( dauert )

13.02.2012, 14:49

gast2011

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Zitat:

Original von Tipso
Ich habe einzelne Teile ausgerechnet, danach diese zusammengefügt.

Dann schreibe das auch! Oder gewöhne Dir eine allgemein verständliche Darstellung (Gleichung mit "=") an!
Ich kann rechnen aber nicht hellsehen! böse

Was sollen welche "Teile" sein? (Eine eindeutige Bezeichnung habe ja nun vorgeschlagen!)

Zitat:

Original von Tipso
Ich werde im laufe des Tages noch eine Aufgabe der selben Länge posten mitsamt gesamten Rechenweg. ( dauert )

Hoffentlich dann in einem neuen Beitrag (wie hier im Forum üblich)!?

13.02.2012, 15:00

Tipso

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Das mache ich.

Ich versuche beim nächsten Thread keine Fehler zu machen.

13.02.2012, 16:55

gast2011

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Also:
$\begin{eqnarray*} \left((x^{-2}y)^3/(2xy^2)^3\right / 2a^{-1}x/3by^{-3} )*a^{-1}*b^{-3}/ 6*\left(x^{-3}y^{-1}\right)^{-1}=? \end{eqnarray*}$

13.02.2012, 17:16

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(32*b^{2}*x^{13}*y^{7})} \end{eqnarray*}$

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