Glättung einer Treppenfunktion

10.02.2012, 15:30

freak4fun

Glättung einer Treppenfunktion

Hallo Leute,
ich such eine Möglichkeit eine Treppenfuntion zu glätten (rund zu machen).
Dabei ist wichtig, das der Durchschnittswert der geglätteten Fkt. gleich dem Durchschnittswert der Treppenfunktion ist. Hab das mit gleitenden Durchschnitt versucht. Sieht zwar hübsch aus, aber die Durchschnittswerte sind ungleich. unglücklich

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

11.02.2012, 01:23

frank09

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RE: Glättung einer Treppenfunktion
Ich habe dir mal eine (nicht stetige) Treppenfunktion und die dazugehörige stetige, aber an den Knickstellen (dicke Punkte) nicht differenzierbare Stammfunktion aufgezeichnet. Wenn du nun eine differenzierbare, z.B. Polynomfunktion errechnest, die durch die dicken Punkte verläuft, ist deren Ableitung eine stetige Glättung der TFkt., deren Durchschnittswerte mindestens über das Intervall einer Stufe mit der T-Fkt. übereinstimmen. Du musst nicht unbedingt eine Funktionsgleichung für den gesamtenfunktions verlauf errechnen. Es würden auch Teilfunktionen von Punkt zu Punkt genügen (z.B. Parabeln 2. oder 3. Grades) deren Ableitungen in den Punkten aber identisch sein müssen.

13.02.2012, 12:10

freak4fun

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Ich habe mal versucht mein Problem zu Skizzieren.
Für den abgerundeten Graph brauche ich die Gleichung, die auf die gegebenen Treppenfunktion, aufbaut. Wie bereits gesagt muss der Mittelwert pro Treppenabschnitt mit dem Mitttelwert des abgerundeten Graphen übereinstimmen. Ich sehe im Moment leider nicht wie mir deine (frank09) Beschreibung dabei hilft. Ich suche ein Verfahren mittels ich mein Problem Lösen kann.
[attach]23101[/attach]

13.02.2012, 14:02

Ehos

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Um deine Treppenfunktion f(x) oder eine beliebige andere Funktion zu glätten, kannst du dieselbe z.B. mit einer normierte Gaußkurve g(x) falten. Die geglättete Kurve ist also folgendes Integral

$\begin{eqnarray*} f(x)*g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \! f(x)\cdot g(t-\tau)\, d\tau \end{eqnarray*}$

Dabei kannst du sogar den "Grad der Glättung" einstellen, indem du den Parameter $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ der Gaußkurve variierst. Näheres zu der mathematischen Operation "Faltung" findest du z.B. bei WIKIPEDIA. Ähnliche Glättungsverfahren werden z.B. bei der Bearbeitung digitaler Fotos angewandt, um "scharfe Kanten" auf Fotos zu glätten.

14.02.2012, 03:40

frank09

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Sei g(x) die Glättungsfunktion. Um die Funktionsgleichung nicht zu groß werden zu lassen, soll sie sich für jeden Monat einzeln berechnen lassen. Als Beispiel für Februar:
(Es gelte x=1 für Ende Januar und x=2 für Ende Februar)
$\begin{eqnarray*} G(2)-G(1) =45 \end{eqnarray*}$ , damit der Durchschnittswert identisch bleibt.
$\begin{eqnarray*} g(1)=47,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(2)=50 \end{eqnarray*}$ (die Funktionswerte sollen am Monatswechsel genau den Mittelwert annehmen)
$\begin{eqnarray*} g'(1)=-5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(2)=10 \end{eqnarray*}$
Die Steigungen zum Monatswechsel sollen der Durchschnittsverlust/-gewinn-Rate zwischen den Monatsmitten entsprechen, d.h. die Gerade, die die Monatsmitten verbindet, ist Tangente an g(x). Außerdem müssen die Steigungen der Monatsfunktionen an den Übergängen identisch sein.
Man kann nun 6 Gleichungen durch eine Polynomfunktion 5.Grades
$\begin{eqnarray*} g(x)=a_2x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$
aufstellen, indem die entsprechenden X-Werte in diese Funktion sowie deren Ableitung und Stammfunktion einsetzt und die Koeffizienten ermittelt. Die Glättungsfunktion für Februar ist blau eingezeichnet (außerdem die Tangenten, die die Monatsmitten verbinden).

Die Glättung durch Faltung ist sicher eleganter. Fraglich ist aber, ob damit die Monatsdurchschnittswerte gleich bleiben.

14.02.2012, 09:39

Ehos

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Es ist unlogisch und widerspricht dem Sinn der Glättung, wenn du forderst, dass sich der monatliche Mittelwert durch die Glättung nicht ändern soll. Wenn z.B. im Monat Mai ein kleiner Wert vorliegt und in den Nachbarmonaten April, Juni hohe Werte, dann wird natürlich der Mai-Mittelwert durch die Glättung größer sein als vorher. Das ist ja der Sinn der Sache! Die primitivste Form der Glättung bestünde darin, dass man für jeden Monat einfach den Mittelwert mit dem Vorgänger- bzw. Nachfolgermonat bildet. Für den Monat Mai hätte man also

$\begin{eqnarray*} \text{Geglätteter Wert für Mai}=\frac{\text{April+Mai+Juni}}{3} \end{eqnarray*}$

Wählt man dagegen eine sehr feine Einteilung (für jeden Tag einen Wert), kann man den geglätteten Wert (z.B. für das Datum 29.3.) durch Bildung des gewichteten Mittelwertes mit den 3 Vorgänger- und 3 Nachfolgetagen bilden, also

$\begin{eqnarray*} \text{geglätteter Wert für das Datum 29.3}= \text{(26.3)}\cdot g_{-3}+\text{(27.3)}\cdot g_{-2}+\text{(28.3)}\cdot g_{-1}+\text{(29.3)}\cdot g_{0}+\text{(30.3)}\cdot g_{+1}+\text{(31.3)}\cdot g_{+2}+\text{(01.4)}\cdot g_{+3} \end{eqnarray*}$

Dabei sind die 7 Werte $\begin{eqnarray*} g_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=-3,-2,-1,0,+1,+2,+3 \end{eqnarray*}$ ausgewählte Funktionswerte der Gaußverteilung.

14.02.2012, 21:48

frank09

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Wenn ich den Fragesteller richtig verstanden habe, geht es ihm in erster Linie um eine "runde" Funktion, also stetig und ohne Knicke. Die klassische Glättung, die dem gleitenden Durchschnitt entspricht, soll es ja nicht sein. Wenn er Wert auf identische Monatsdurchschnittswerte legt, lässt sich dass monatsweise durch ein Polynom vierten Grades (nicht 5. wie ich zuvor gepostet habe) darstellen, weil nur fünf Bedingungen erfüllt sein müssen. Ob das Sinn macht, ist eine andere Frage. Es ist jedenfalls mathematisch lösbar, wenn man mit folgenden Funktionen rechnet:
$\begin{eqnarray*} G(x)=\frac{1}{5}a_4x^5+\frac{1}{4}a_3x^4+\frac{1}{3}a_2x^3+\frac{1}{2}a_1x^2+a_0x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)=4a_4x^3+3a_3x^2+2a_2x+a_1 \end{eqnarray*}$

Nun kann man die den Bedingungen entsprechenden X- und Y-Werte einsetzen, ein 5x5-Gleichungssystem aufstellen und die Koeffizienten bestimmen.

15.02.2012, 10:50

freak4fun

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Zitat:

Original von frank09
Wenn ich den Fragesteller richtig verstanden habe, geht es ihm in erster Linie um eine "runde" Funktion, also stetig und ohne Knicke. Die klassische Glättung, die dem gleitenden Durchschnitt entspricht, soll es ja nicht sein.

Ja, genau das trifft es. Das wollte ich gerade schreiben. Ich bin noch dabei deinen vorherigen Betrag aufzuschlüsseln. geschockt

Ist als Nicht-Mathematiker gar nicht so einfach.

17.02.2012, 02:28

frank09

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Ich hab das mal durchgerechnet: Wenn man die so definierten Monatskurven zusammensetzt, ergeben sich unschöne Wellenbewegungen auch bei konstanten Monatswerten (z.B. Mai, Juni). Besser sind Splines. Das sind Teilkurven 3.Grades, die jeweils von Stützpunkt zu Stützpunkt (rot) eine eigene Funktion darstellen und in den gemeinsamen Punkten identische Krümmung haben. Um den Kurvenverlauf einigermaßen "rund" hinzubekommen, braucht man 24 Stützstellen. Mit der Bedingung, dass die Monatsmittelwerte mit den Kurvenwerten übereinstimmen, bekommt man ein Gleichungssytem mit 96 Unbekannten, das nur mit entsprechender Software zu lösen wäre, über die ich nicht verfüge. Ich habe die Stützstellen schätzungweise angelegt und hier den Funktionsverlauf berechnen lassen:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm)
Man kann sich auch die Integrale (= Durchschnittwerte) von Monat zu Monat ausrechnen lassen, und wenn nötig, die Stützstellen entsprechend anpassen. Wenn du genaue Funktionsgleichungen brauchst, die Koordinaten der roten Punkte einfach auf dieser Website eintragen und berechnen lassen.

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