endlich erzeugte abelsche gruppen

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lizibizi Auf diesen Beitrag antworten »
endlich erzeugte abelsche gruppen
DIe Frage lautet:
Sei G= Z x Z/24Z x Z/35Z. Bestimmen Sie die Untergruppen G[m] für 1kleiner gleich m kleiner gleich 10. Jeweils durch Angabe eines Erzeugendensystems.


1. Verstehe ich gar nicht so recht was G[m] wirklich bedeutet.

2. Steht in der Lösung:

G[1] = {(0, 24Z, 35Z)}
G[2] = {0} x {24Z, 12+24Z} x {35Z}
G[3] = {0} x {24Z, 8+24Z, 16+ 24Z} x {35Z}
G[4] = {0} x {24Z, 6+24Z, 12+ 24Z, 18+24Z} x {35Z}
usw

doch ich verstehe einfach nicht wie man darauf kommt..

als Tipp ist auch gegeben Z/nZ[m] = n/ggT(m,n) +nZ

aber damit kann ich nix anfangen...

sorry, aber demnach wäre ich wirklich über jede Hilfe dankbar...
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne G[m] als der Kern der m-Multiplikations Abbildung:
(G als additive Gruppe). Bei deinen Beispielen passts. Oder habt ihr das anders definiert?
 
 
lizibizi Auf diesen Beitrag antworten »

Es wurde eigentlich nur eingeführt mit
G[m] ist Teimenge und Untergruppe von G definiert durch
G[m] = {g element aus G / mg = 0}
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Inwiefern unterscheidet sich das von meiner Defintion?
Es dir wenigstens klar warum G[1] = {(0, 24Z, 35Z)}

P.S. Auf PC-Tasturen gibt´s sogar ein | , da muss man nicht das mathematisch auch anders interpretierbare / verwenden
lizibizi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich denke das ist mir klar, aber mir ist nicht klar wie man auf
{24Z, 8+24Z, 16+ 24Z} oder auf
{24Z, 6+24Z, 12+ 24Z, 18+24Z} kommt...
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn Z/24Z[3] und Z/35Z[3] ?
lizibizi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das weiß ich nicht so genau...
Z/24Z ist doch die menge aller restklassen modulo 24
und bei Z/24Z[3] muss man dann durch 3 teilen oder nein ka eigentlich, wie gesagt es leuchtet mir nicht ein was das alles heißt
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch den hinweis
Zitat:
Z/nZ[m] = n/ggT(m,n) +nZ
(wobei der garantiert nicht so in der Lösung steht.)
Oder anders: Welche erfüllen ? (im schlimmsten Fall: ausprobieren).

Und wenn ich dir weiterhelfen soll erwarte ich deutlich substantiellere Rückmeldung als "ka eigentlich", denn ich weiß dann nicht was ich erklären soll.
lizibizi Auf diesen Beitrag antworten »

Also pass auf, für mich bedeutet der tipp bei z.b G[3] das n=24 und m=3 ggT 3 also komm ich auf 8+24Z


Mir fehlt einfach jeglicher Zusammenhang, deshalb mein ja ka..

Ich sitz vor {0} x {24Z, 8+24Z, 16+ 24Z} x {35Z}
und denk mir ok
24:3=8, 24 -8 = 16

dann schau ich mir {0} x {24Z, 6+24Z, 12+ 24Z, 18+24Z} x {35Z} an
24:4=6, 24-6=18, 18-6= 12

aber ich verstehe nicht wieso das so ist....
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Liest du eigentlich was ich schreibe?
Der Tipp ist so wie du in hier gepostet hast falsch. Da fehlt nämlich auf der rechten Seite einige Elemente.

Und das weitere was du geschrieben hast ist nutzloses Stochern im Nebel. Schau dir doch mal die Defintion an bevor du was machst. Um das Problem zu vereinfachen hab´ich die einfachere Frage
Zitat:
Welche erfüllen ? (im schlimmsten Fall: ausprobieren)

das führt zur Bestimmung von .
lizibizi Auf diesen Beitrag antworten »

die Zahlen 8, 16 24, 32, 40,....
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Gesucht sind aber Elemente von . Welche von deinen oben aufgezählten Zahlen sind Darstellungen desselben Elements dieses Restklassenrings?
lizibizi Auf diesen Beitrag antworten »

8 und 16...
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

und?
lizibizi Auf diesen Beitrag antworten »

24
lizibizi Auf diesen Beitrag antworten »

ah warte mal, wäre es dann bei G[5] die Zahlen 7, 14, 21, 28 und 35 ?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

. Daher:

Zitat:
ah warte mal, wäre es dann bei G[5] die Zahlen 7, 14, 21, 28 und 35 ?

In Bezug auf ? G[5] ist das definitv nicht.
lizibizi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte bei G[5] bezogen auf Z/35Z
wäre es dann
G[5] = {0} x {24Z} x {0+35Z, 7+35Z, 14+35Z, 21+35Z, 28+35Z}

stimmt das also nicht?
lizibizi Auf diesen Beitrag antworten »

also Z/35Z [5] = {0+35Z, 7+35Z, 14+35Z, 21+35Z, 28+35Z}
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt.
Als Mathematiker solltest du dich aber präzise ausdrücken. Du hast hier G definiert als
Zitat:
Ich dachte bei G[5] bezogen auf Z/35Z

Was du meintest ist .
Aber das hast du jetzt ja selber eingesehen.
Damit solltest du jetzt auch die weiteren fälle betrachten können.
lizibizi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, tut mir leid, das war schlampig ausgedrückt/geschrieben..

Aber vielen dank für deine Geduld, ich denke ich habs begriffen.

Hab jetzt auch so mal weiter gemacht, nur eine Frage hätte ich noch

wie sieht es denn aus mit Z/24Z[9] ?

entspricht die Untergruppe G[9] der Untergruppe G[3] = {0} x {24Z, 8+24Z, 16+ 24Z} x {35Z} ?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
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