[Finanzmathematik] Formelproblem - Sparplan, Kapitalverzehr

10.02.2012, 16:42

_ViRGiL_

[Finanzmathematik] Formelproblem - Sparplan, Kapitalverzehr

Hallo zusammen,

ich habe in den letzten Tagen bereits die Weiten des Internets durchsucht und bin da auf ein kleines Verständnisproblem gestoßen.

An dieser Stelle hoffe ich, dass meine folgende Ausführung verständlich und nicht zu Komplex wird.

Folgende Aufgabe(n) möchte ich lösen:
..::hier Ohne Probleme - denk ich::..
1. Eine Person möchte monatlich vorschüssig einen Betrag (r) sparen
Laufzeit (n) = 37 Jahre, Monate (m) = 12
Zinsfuß (p) = 6% (nominal), Inflationsrate ( $\begin{eqnarray*} i_{inf} \end{eqnarray*}$ ) = 0,025

Folgende Formeln verwendet:

Realverzinsung ( $\begin{eqnarray*} i_{rel} \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} i_{rel} = \frac{i_{nom} - i_{inf}} {1 + i_{inf}} i_{rel} = 3,41% \end{eqnarray*}$

Wert der jährlichen Einzahlung ( $\begin{eqnarray*} r_{Jahrein} \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} r_{Jahrein} = r * \left[ m + \frac{i_{rel} (m+1)} {2} \right] r_{Jahrein} = 12.995,85 EUR \end{eqnarray*}$

Rentenentwert ( $\begin{eqnarray*} R_{n} \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} R_{n} = r_{Jahrein} * \frac{q^{n} - 1} {q - 1} R_{37} = 937.646,96 EUR \end{eqnarray*}$

2. Diese Person möchhte nun 937.646,96 EUR monatlich vorschüssig über 25 Jahre verzehren (= 0 EUR)
Laufzeit (n) = 25, Monate (m) = 12
Realzins ( $\begin{eqnarray*} i_{rel} \end{eqnarray*}$ ) = 0,0341

Folgende Formeln verwendet:

Ausgangsformel = Entwert der Einzahlung = Barwert der Auszahlung ( $\begin{eqnarray*} R_{37} = R_{0} \end{eqnarray*}$ )

Wert der jährl. Auszahlung ( $\begin{eqnarray*} r_{Jahraus} \end{eqnarray*}$ ):
$\begin{eqnarray*} r_{Jahraus} = \frac{R_{0} * q^{n} * (q - 1) } {q^{n} - 1} r_{Jahraus} = 56.365,00 EUR \end{eqnarray*}$

Wert der monatlichen Auszahlung ( $\begin{eqnarray*} r_{M} \end{eqnarray*}$ ):
$\begin{eqnarray*} r_{M} = \frac{r_{Jahraus}} {\left[ m + \frac{i_{rel} (m+1)} {2} \right]} r_{M} = 4.611,78 EUR \end{eqnarray*}$

..::hier das Formelproblem::..
Alternative Frage zu Punkt 2. (umgekehrte Rechnung)
Eine Person möchte sich in 37 Jahren einen monatlichen vorschüssigen Betrag ( $\begin{eqnarray*} r_{Maus} \end{eqnarray*}$ ) in Höhe von 4.611,80 EUR 25 Jahre lang auszahlen lassen (Kapitalverzehr; = 0). Welche monatliche vorschüssige Sparrate ( $\begin{eqnarray*} r_{Mein} \end{eqnarray*}$ ) muss er sparen?
Realzins ( $\begin{eqnarray*} i_{rel} \end{eqnarray*}$ ) = 0,0341

Stelle ich die obigen Formeln entsprechend um ergibt sich eine monatliche Sparrate von 1.063,32 EUR. Diese ergibt ein Kapital nach 37 Jahr zu 3,41% in Höhe von 937.646,96 EUR --> logisch

ABER

Zu diesem Sachverhalt habe ich in dem Scribt aus dem ich nun die obigen Formeln zusammengestellt hab ein Formelherleitung gefunden die zu einem andern Ergebnis kommt, was mich gerade in den Wahnsinn treibt, da ich nun nicht mehr weiss, was richtig und was falsch ist.
zunächst die Formelherleitung:

$\begin{eqnarray*} r_{Jahrein} = r_{Mein} * \left[ m + \frac{i_{rel} (m+1)} {2} \right] \end{eqnarray*}$

eingesetzt und aufgelöst ergibt sich daraus
$\begin{eqnarray*} r_{Jahrein} = r_{Mein} * 12,22195122 \end{eqnarray*}$

Für den Entwert einer jährlichen Rente gilt dann:
$\begin{eqnarray*} R_{37} = r_{Jahrein} * \frac{q^{37} - 1} {q - 1} = r_{Mein} * 12,22195122 * \frac{q^{37} - 1} {q - 1} \end{eqnarray*}$

So, der Entwert der Einzahlung ( $\begin{eqnarray*} R_{37} \end{eqnarray*}$ ) kann nur mit dem Barwert der Auszahlung ( $\begin{eqnarray*} R_{0aus} \end{eqnarray*}$ ) verglichen werden (vorschüssige Betrachtung):
$\begin{eqnarray*} R_{0aus} = \frac{R_{naus}} {q^{naus}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_{0aus} = \frac{r_{Jahraus}} {q^{naus}} * q * \frac{q^{naus} - 1} {q - 1} = \frac{r_{Mein} * 12,22195122} {q^{naus}} * q * \frac{q^{naus} - 1} {q - 1} \end{eqnarray*}$
alles eingesetz ergibt:
$\begin{eqnarray*} R_{0aus} = 969.666,95 EUR = R_{37} \end{eqnarray*}$
ERSTER FEHLER
es müsste aber rein theoretisch ein Wert um die 937.646,96 EUR rauskommen (siehe Punkt 2), ich finde auch komisch das ich min n=25 rechne aber der Wert dann statt $\begin{eqnarray*} R_{25} nun R_{37} \end{eqnarray*}$ sein soll. Was andereseits aber eben zur Berechnung der Sparrate passt, denn ...

... daraus folgt:
Der Barwert der monatlichen Auszahlungen in Höhe von 969.666,95 EUR ist dem Entwert der Einzahlung gleichzusetzen, daraus ergibt sich nach einsetzen und auflösen der Formel:
$\begin{eqnarray*} r_{Mein} * 12,2219512 * \frac{q^{37} - 1} {q - 1} = 969.666,95 EUR r_{Mein} = 1.099,63 EUR \end{eqnarray*}$

!!!und im Ergebnis der beiden Rechenwege sind 1.099,63 EUR nun mal nicht gleich 1.063,32 EUR!!!

Was ist hier nun richtig und was falsch! Sind die Punkte 1 und 2 falsch oder ...?
Vielleicht habe ich auch vorschüssig und nachschüssig irgendwo durcheinander gebracht?

Ansonten noch eine Bitte:
vielleicht kann mir einer einen Tip zur Inflation geben, also ob ich sie so wie ob mit der Realverzinsung einsetzen kann oder ob dies anders gerechnet werden muss!!??

Ich sag schon mal danke um Voraus und hoffe, dass sich jemand findet der sich besser auskennt als ich ...

MfG
_ViRGiL_

13.02.2012, 00:02

Abakus

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RE: [Finanzmathematik] Formelproblem - Sparplan, Kapitalverzehr

Zitat:

Original von _ViRGiL_
$\begin{eqnarray*} r_{Jahrein} = r_{Mein} * \left[ m + \frac{i_{rel} (m+1)} {2} \right] \end{eqnarray*}$

eingesetzt und aufgelöst ergibt sich daraus
$\begin{eqnarray*} r_{Jahrein} = r_{Mein} * 12,22195122 \end{eqnarray*}$

Hallo,

wenn ich 3,41% einsetze, komme ich auf 12,22165? Liegt es vielleicht daran?

Abakus smile

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