Periode addierter Sinusschwingungen

10.02.2012, 20:08

Dopap

Periode addierter Sinusschwingungen

Bestimmen sie die Periode von $\begin{eqnarray*} \sin (at)+\sin(bt) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:

Die Einzelperioden sind $\begin{eqnarray*} T_a = \frac {2\pi}{a}, T_b=\frac {2\pi}{a} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} T_a,T_b \end{eqnarray*}$ ganze Zahlen sind, gilt meiner Meinung nach,
dass die gemeinsame Periode $\begin{eqnarray*} T=kgv(T_a,T_b \end{eqnarray*}$ ) ist.

Und sonst.?

z.B. $\begin{eqnarray*} \sin(\frac {12}{5}t)+ \sin(\frac {11}{7}t) \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_a = 2\pi \frac {5}{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_b =2\pi \frac {11}{7}, \end{eqnarray*}$

würde sagen, dass $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ unerheblich ist, und der $\begin{eqnarray*} "kgv"(\frac {5}{12},\frac {11}{7}) \end{eqnarray*}$ gesucht ist.

könnte an dieser Stelle Hilfe gebrauchen.

10.02.2012, 20:32

HAL 9000

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Sind $\begin{eqnarray*} a\neq 0,b\neq 0 \end{eqnarray*}$ reell, so dass aber $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ rational ist, dann kann man auch für diese Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ einen kgV betrachten, und zwar ist der dann gleich

$\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(a,b) = |qa| \end{eqnarray*}$

dabei ist $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ (also der "vollständig gekürzte" Bruch).

In dem Sinne gilt dann deine Aussage

Zitat:

Original von Dopap
dass die gemeinsame Periode $\begin{eqnarray*} T=kgv(T_a,T_b \end{eqnarray*}$ ) ist.

auch für diesen Fall.

Ist aber $\begin{eqnarray*} \frac{T_a}{T_b} = \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ irrational, dann ist deine Summenfunktion nicht periodisch.

10.02.2012, 21:52

Dopap

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die vorgestellte Lösung ist existenzieller Art.

Gibt es noch einen Hinweis zur konkreten Lösung?

10.02.2012, 21:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
die vorgestellte Lösung ist existenzieller Art.

Dann setz mal die Brille auf, da steht schon ganz konkret, wie dieser kgV berechnet werden kann. Forum Kloppe

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(a,b) = |qa| \end{eqnarray*}$

dabei ist $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ (also der "vollständig gekürzte" Bruch).

So ist in deinem Beispiel

$\begin{eqnarray*} \frac{2\pi \frac{5}{12}}{2\pi \frac{11}{7}} = \frac{35}{132} \end{eqnarray*}$ ,

also $\begin{eqnarray*} p=35,q=132 \end{eqnarray*}$ und damit dann

$\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}\left( 2\pi \frac {5}{12}, 2\pi \frac {11}{7} \right) = 2\pi \frac {5}{12} \cdot 132 = 110\pi \end{eqnarray*}$ .

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