Cauchy-Folge mit vorgegebenem Grenzwert...

10.02.2012, 20:29

SeiEpsilon<0...

Cauchy-Folge mit vorgegebenem Grenzwert...

Hallöchen,

ich soll eine Cauchy-Folge mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ finden und scheitere, da ich die $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ nicht verwenden darf.
Mir klingt noch im Ohr, dass die Cauchy-Folge u.a. mittels rationaler Zahlen reelle Zahlen produziert, aber wie mache ich das hier?

Wäre z.B. nach dem Grenzwert 2 gefragt, hätte ich ganz einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{n-1} \end{eqnarray*}$

nehmen können. Dem ist aber nicht so, also weiß ich nicht weiter...Wie erzeugt man die $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ?

10.02.2012, 20:30

IfindU

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RE: Cauchy-Folge mit vorgegebenem Grenzwert...
Eine schöne Folge aus dem Kopf wüsste ich auch nicht, aber zum Glück gibt es dafür vorgefertige Folgen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren

Mir ist jetzt noch die Idee gekommen einfach über den Sinus oder Cosinus zu gehen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus#Wichtige_Funktionswerte

Wenn man Pi verwenden darf, kann man es auch so machen.

10.02.2012, 20:48

SeiEpsilon<0...

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RE: Cauchy-Folge mit vorgegebenem Grenzwert...
Sicher? Dann wäre aber laut Heron

$\begin{eqnarray*} \frac{x²+2}{2x} \end{eqnarray*}$

eine Folge mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , oder?
Ist es aber augenscheinlich nicht.
Oder wie meintest du das?

Achso, Pi darf nicht verwendet werden, ist ja nicht rational...

10.02.2012, 21:30

IfindU

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RE: Cauchy-Folge mit vorgegebenem Grenzwert...
Das ist eine rekursive Folge, ein Folgenglied aufschreiben reicht nicht.

10.02.2012, 22:33

SeiEpsilon<0...

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RE: Cauchy-Folge mit vorgegebenem Grenzwert...
Hmmm, wie wahr, darauf hätte ich auch kommen können... Ups

Aber wie stelle ich es an??

11.02.2012, 00:13

IfindU

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RE: Cauchy-Folge mit vorgegebenem Grenzwert...
Was denn? Du hast damit eine Folge, die gegen Wurzel 2 konvergiert.

Dass sie es tut kannst du dann mit Mittel der Analysis 1 zeigen. Oder wolltest du sie explizit aufschreiben? Fürchte das wird dann nicht so einfach möglich sein, vorallem könnte Wurzel 2 dann wieder auftauchen.

11.02.2012, 10:45

SeiEpsilon<0...

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RE: Cauchy-Folge mit vorgegebenem Grenzwert...
Ich stehe offenbar auf dem Schlauch und bin nicht sicher, ob das reicht. Aufgabe war es in dieser Ü, 3 Cauchy-Folgen zu finden, die gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ konvergieren.
Habe gerade nochmal geschaut und gesehen, dass die Heron-Formel als Beispiel angegeben wurde (niemand hatte die Aufgabe richtig Augenzwinkern

), allerdings mit dem Index-n.
Habe ich damit die "gesamte" Folge rekursiv aufgeschrieben und nicht nur ein Folgenglied?

Hier steht also

$\begin{eqnarray*} \frac{x²_{n} +2}{2x_{n}} \end{eqnarray*}$

(und dann noch optional diverse Nullfogen als Zusatz, zB. $\begin{eqnarray*} + 1/n \end{eqnarray*}$ etc.

11.02.2012, 11:01

IfindU

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RE: Cauchy-Folge mit vorgegebenem Grenzwert...
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{x²_{n} +2}{2x_{n}}, \quad x_0 \text{beliebig} \end{eqnarray*}$

Das wäre die komplette Folge, d.h. du kannst $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ erst berechnen, wenn du $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ vorher berechnet hast, und es entsprechend einsetzt.
Wikipedia hatte sogar eine Beispielrechnung, wo sie die Wurzel aus 9 damit ausrechnen wollen (da nähert es sich immer näher der ganzen Zahl 3 an).

Die Folge hat den Vorteil, dass sie für jeden Startwert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, man könnte sich das Leben leicht machen und mit 3 verschiedenen Startwerten 3 verschiedene Folgen konstruieren, die aber nach der gleichen Vorschrift erzeugt werden.

Das Problem mit expliziten Folgen ist (du setzt n ein und bekommst sofort das n-te Folgenglied) dass sie kaum ohne den expliziten Grenzwert auskommen. Die rationalen Zahlen liegt dicht in den reellen, d.h. es gibt eine Folge von rationalen Zahlen, die gegen Wurzel 2 konvergieren.
Was auch gehen würde, ist eine "Abschneidefolge" zu konstruieren - wenn du als n-tes Folgenglied Wurzel 2 bis zur n-ten Kommazahl wählst, konvergiert die Folge natürlich gegen Wurzel 2 - jedes Folgenglied ist aber rational, da es immer nur endlich viele Nachkommastellen gibt. Aber, das kriegt man nicht ohne das Wissen über Wurzel 2 gebaut.

24.09.2015, 12:30

Claudinchen

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Cauchy-Folge mit vorgegebenem Grenzwert
Das Thema ist zwar schon ein bisschen älter, aber ich glaube wir haben den Beweis bei uns in der Vorlesung gemacht.
Sei $\begin{eqnarray*} b>0 \end{eqnarray*}$ . Wir definieren Folge:

$\begin{eqnarray*} a_{1} = b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_{n} +2/a_{n} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ , also Folge wohldefiniert, weil wir nicht durch 0 teilen.

Jetzt wollen wir uns überlegen, was dieser Ausdruck hier $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (a_{n} +2/a_{n} \end{eqnarray*}$ ) macht.
Und zwar können wir ihn abschätzen, weil wir wissen das arithmetische Mittel ist größer gleich dem geometrischen Mittel ist. In Formeln: Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (x + y) \geq \sqrt{xy} \end{eqnarray*}$
also hier mit $\begin{eqnarray*} x=a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\frac{2}{a_{n} } \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (a_{n} +2/a_{n})\geq \sqrt{a_{n} *\frac{2}{a_{n}} } =\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
Also Folge nach unten beschränkt durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt müssen wir uns noch überlegen, dass sie monoton fällt...
mir fällt gerade ein: Man kann es auch im Skript Analysis Huber-Klawitter WiSe 2014/15 auf Seite 29 nachlesen.

Latex korrigiert. (Guppi12)

24.09.2015, 14:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Oder wolltest du sie explizit aufschreiben? Fürchte das wird dann nicht so einfach möglich sein, vorallem könnte Wurzel 2 dann wieder auftauchen.

Tja, das ist so eine Sache mit dem "auftauchen": Z.B. taucht $\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}$ zwar in der Darstellung

$\begin{align*} a_n = \sqrt{2}\cdot \frac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n}{(1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n} \end{align*}$

gleich mehrfach auf, tatsächlich ist dieses $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ aber eine rationale Folge, die gegen $\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}$ konvergiert. (Tatsächlich enthält sie die Heronfolge mit Startwert 1 als Teilfolge, genauer $\begin{align*} a_{2^k} \end{align*}$ ).

24.09.2015, 16:19

IfindU

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Ist jetzt ein paar Jahre her, aber er hatte am Anfang geschrieben er darf $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ nicht verwenden -- hiess wenigstens für mich, dass in der Darstellung der Folge $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ nicht auftauchen soll. Sonst hätte ich natürlich das kanonische $\begin{eqnarray*} a_n = \frac { \lfloor 10^n \sqrt 2\rfloor }{ 10^n} \end{eqnarray*}$ vorgeschlagen.

Oder wolltest du sagen, dass auch in der Methode von Heron die $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ "auftaucht"?

24.09.2015, 16:36

HAL 9000

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Ich wollte damit ausdrücken, dass ich das "darf nicht auftauchen" für ziemlich besch...t halte, und eher annehme, es ist damit gemeint, dass die Folge rational sein soll.

EDIT: Upps, hab gar nicht gesehen, dass der Thread uralt ist. Big Laugh

Na dann vergesst es, Claudinchen hatte ja andere Schwerpunkte.

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