Gleichmäßige Stetigkeit

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17.01.2007, 14:38	KathrinB	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Stetigkeit Hallo. Wie zeige ich, dass der tangens nicht gleichmäßig stetig auf seinem Definitionsbereich ist? Habs mit Widerspruchsbeweis probiert, bin aber leider gescheitert.
17.01.2007, 14:43	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeig doch einfach, dass der Tangens Polstellen hat. Was nicht stetig ist, kann auch nicht gleichmäßig stetig sein.
17.01.2007, 14:46	KathrinB	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber an den Polstellen ist der Tanges ja nicht definiert, also weder stetig noch unstetig. Und in seinem Definitionsbereich ist der Tangens ja wohl stetig, oder lieg ich hier grad voll daneben?
17.01.2007, 14:53	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hast natürlich recht. Du musst einfach zwei Werte finden, für die die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|f(x')-f(x)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ nicht erfüllt ist. z.B. ist $\begin{eqnarray} \tan(n \pi)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$
17.01.2007, 14:56	KathrinB	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber ich weiß noch immer nicht genau, was ich machen muss.
17.01.2007, 15:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@pseudo-nym Inwiefern ist da $\begin{eqnarray} \tan(n\pi)=0 \end{eqnarray}$ ein Gegenbeispiel? Nein, es reicht aus, für ein einziges $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ (geeignet ist im vorliegenden Fall jedes solche $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ , z.B. $\begin{eqnarray} \varepsilon=1 \end{eqnarray}$ ) zu zeigen, dass es für jedes noch so kleine $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ zwei Werte $\begin{eqnarray} x,x' \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x-x'\|<\delta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x')\|\geq \varepsilon \end{eqnarray}$ gibt. Und die findet man, wenn man sich nur hinreichend nahe an eine Polstelle wie z.B. $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ begibt. Muss man jetzt nur noch ordentlich aufschreiben.
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17.01.2007, 15:05	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft ein Beispiel. $\begin{eqnarray} f(x)=\sin \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Die Definition der Stetigkeit verlangt doch, dass für $\begin{eqnarray} \|x''-x'\|<\epsilon \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \|f(x'')-f(x')\|<\delta \end{eqnarray}$ gilt. wenn wir jetzt aber $\begin{eqnarray} x''=\frac{1}{n \pi} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x' = \frac{2}{(4n+1) \pi} \end{eqnarray}$ wählen, dann bleibt die Differenz $\begin{eqnarray} \|\sin(n \pi)-\sin(2n \pi + \frac{\pi}{2})\| \end{eqnarray}$ gleich eins, wenn wir n gegen unendlich streben lassen, also kann die Funktion nicht gleichmäßig stetig sein. @Arthur: Das ist kein Gegenbeispiel nur ein Beispiel für einen für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ konstanten Funktionswert.
17.01.2007, 15:29	KathrinB	Auf diesen Beitrag antworten »
@pseudo-nym Ein sehr schönes und veranschaulichendes Beispiel. Aber wie bekomme ich etwas änliches für tan(x) hin? ..... denn durch $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ im Sinus ist es ja wesentlich einfacher..... @Arthur Dent In die Richtung ging mein Versuch auch..... $\begin{eqnarray} \mid( \frac{ \pi }{2}-\frac{1}{2n}) - (\frac{ \pi }{2}-\frac{1}{n})\mid = \frac{1}{2n} \end{eqnarray}$ < $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n> \frac{1}{2\delta} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ beliebig Aber wie zeige ich weiter, dass $\begin{eqnarray} \|tan( \frac{ \pi }{2}-\frac{1}{2n})- tan(\frac{ \pi }{2}-\frac{1}{n})\| > \epsilon \end{eqnarray}$ (bzw. 1) Geht das so überhaupt oder schreibe ich Unsinn?
17.01.2007, 15:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte doch einfach mal die Folge $\begin{eqnarray} x_n = \arctan(n) \end{eqnarray}$ . Offenbar ist die streng monoton wachsend mit Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Konvergente Folgen sind auch Cauchy-Folgen, also gibt es für jedes $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x_n-x_m\|<\delta \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n,m\geq n_0 \end{eqnarray}$ . Speziell kann man dann $\begin{eqnarray} n=n_0,m=n_0+1 \end{eqnarray}$ wählen und erhält $\begin{eqnarray} \|f(x_n)-f(x_m)\|=1\geq \varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon\leq 1 \end{eqnarray}$ .

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