Verfahren zur Bestimmung komplexer Nullstellen?!

11.02.2012, 06:41	MarcelL	Auf diesen Beitrag antworten »
Verfahren zur Bestimmung komplexer Nullstellen?! Meine Frage: Hi, ich bin gerade am Lernen für die Algebra Klausur am Montag und habe ein Problem :/ Habe mir Altklausuren angeschaut und eine typische Klausuraufgabe ist es ja, Nullstellen bzw. Zerfällungskörper von Polynomen zu bestimmen. Nun meine Frage: Gibt es ein Verfahren, bei einem Polynom 4. Grades mit Koeffizienten in Q bzw. Z die Nullstellen zu bestimmen, wenn diese alle komplex sind und man keine Nullstelle kennt. Meine Ideen: Wenn ich eine Nullstelle kennen würde, wär ja alles kein Problem, da ich dann auch gleich die komplex konjugierte kenne und der Rest ergibt sich dann per Polynomdivision. Aber wie löse ich so ein Problem ohne langes raten, wenn ich keine Nullstelle kenne? Eine Beispielaufgabe aus einer Altklausur zur Veranschaulichung meines Problems: Es sei $\begin{eqnarray} f = X^{4} + 3X^{2} + 1 \in \mathbb Q\left[X\right] \end{eqnarray}$ (a) Zeigen Sie, dass f irreduzibel ist (b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ (c) Sei a eine Nullstelle von f. Zeigen Sie: Q(a) ist Zerfällungskörper von f Auf die (a) kam ich recht schnell. die (b) hat dann etwas gedauert und habs dann nur durch ausprobieren hingekriegt. die (c) bekommt man ja im Prinzip geschenkt, wenn man die (b) hat (Alle Nullstellen enthalten i und $\begin{eqnarray} \sqrt{5} \end{eqnarray}$ Allerdings ist mir nun noch etwas aufgefallen, möglicherweise ein Zusammenhang zwischen (a) und (b) der mir so noch nicht klar ist. Ich habe für den Beweis von (a) unter anderem als Ansatz gewählt: $\begin{eqnarray} X^{4} + 3X^{2} + 1 = (a+bx+x^{2})(c+dx+x^{2}) \end{eqnarray}$ Nun erhielt ich am Ende: $\begin{eqnarray} c = \frac{3\pm \sqrt{5}}{2} \end{eqnarray}$ Kurioser Weise ähnelt dies ja schon sehr stark den Nullstellen: $\begin{eqnarray} c = \pm i\left ( \frac{3\pm \sqrt{5}}{2} \right) \end{eqnarray}$ Das ist doch sicherlich kein Zufall? Lassen sich so allgemein die Nullstellen eines Polynoms 4. Grades finden, wenn diese alle komplex sind? Oder gibt es einen anderen allgemeinen Ansatz zum finden dieser? Weis es ist recht knapp bis Montag, aber hoffe mir kann noch jemand ein wenig auf die Sprünge helfen Ach ja, habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
11.02.2012, 07:00	MarcelL	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man bin ich blöd, hat sich erledigt, man sollte echt nicht die ganze Nacht durchlernen, da kommt sowas blödes bei raus
11.02.2012, 08:42	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
was hast du nun konkret raus?
12.02.2012, 09:54	MarcelL	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, hatte für mögliche Zerlegung ja oben genanntes c raus, sowie d=0. Letzteres hatte ich nicht bedacht, denn dann ist der Wert von meinem c natürlich kein Zufall. Ich kann ja dann einfach $\begin{eqnarray} (c+x^{2} = 0) \end{eqnarray}$ nach x auflösen und hab direkt 2 Nullstellen..

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