Uneigentliches Integral berechnen

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11.02.2012, 13:48	BraehlerM	Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliches Integral berechnen Hallo zusammen Ich hänge gerade an folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} g(x) = \int_1^\infty \! \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x²} \, dx \end{eqnarray}$ 1.) Zeige, dass das uneigentliche Integral existiert, ohne es zu berechnen. 2.) Berechne das uneigentliche Integral. Zu 1.) Habe ich den Ansatz: $\begin{eqnarray} g(x) = \int_1^\infty \! \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x²} \, dx = \int_0^1 \! \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x²} \, dx + \int_1^\infty \! \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x²} \, dx \end{eqnarray}$ Doch wie rechne ich nun hier weiter? Zu 2.) habe ich folgenden Ansatz: $\begin{eqnarray} g(x) = \int_1^\infty \! \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x²} \, dx = \int_1^a \! \frac{1}{x²} \, dx \int_1^a \! ln(1+\sqrt{x}) \, dx = \left[-\frac{1}{x} \right]_{1}^{a} * \int_1^a \! ln(u) \, du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u=1+\sqrt{x} ; \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}} ; du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx \end{eqnarray}$ Wo setze ich hier $\begin{eqnarray} du \end{eqnarray*}$ wieder ein? Nach dem Integrieren ? Gruß
11.02.2012, 13:58	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal zu (i): Was musst Du denn überhaupt für die Existenz zeigen?
11.02.2012, 13:58	BraehlerM	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass das Integral stetig und somit auch integrierbar ist, wenn mich nicht alles täuscht.
11.02.2012, 14:00	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zeigen, daß es konvergiert.
11.02.2012, 14:04	BraehlerM	Auf diesen Beitrag antworten »
Macht Sinn Aber wie zeige ich das nun, ohne das Integral zu berechnen?
11.02.2012, 14:05	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach oben abschätzen.
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11.02.2012, 14:14	BraehlerM	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, da der Nenner sehr viel schneller im Wert steigt als der Zähler, würde ich das einfach so aufschreiben: $\begin{eqnarray} g(x) = \int_1^\infty \! \frac{ln(1+\sqrt{x})}{x²} \, dx \Rightarrow \lim_{x \to \infty } = 0 \end{eqnarray}$ Und somit exisitert das Integral. Kann man das so aufschreiben?
11.02.2012, 14:20	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, Du mußt schon nach oben abschätzen und die Konvergenz klarer zeigen. Das Abschätzen ist hier nicht so schwer, versuch's mal.
11.02.2012, 14:34	BraehlerM	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit "nach oben abschätzen"? x läuft doch schon gegen unendlich.
11.02.2012, 14:36	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral nach oben abschätzen. $\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\, dx\leq . . . \end{eqnarray}$
11.02.2012, 14:46	BraehlerM	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, aber ich kann mir da keinen Reim drauf machen Wieso $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ ? Trifft hier nicht eher $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ zu? $\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\, dx\geq\int_{2}^{\infty}\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\, dx \geq \int_{3}^{\infty}\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\, dx\geq ... \end{eqnarray}$
11.02.2012, 14:52	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Bereich, über den Du integrierst, darfst Du natürlich nicht ändern, sonst macht die Abschätzung wenig Sinn. Ich meinte das so: $\begin{eqnarray} \int_1^{\infty}\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\, dx<\int_{1}^{\infty}\ln(1+\sqrt{x})\, dx \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>1 \end{eqnarray}$ . Und jetzt kannst Du das wiederum nach oben abschätzen, zum Beispiel so: $\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}\ln(1+\sqrt{x})\, dx<\int_1^{\infty}1+\sqrt{x}\, dx\leq \int_1^{\infty}1+x\, dx=\infty \end{eqnarray}$ Das letzte Integral ist ja leicht auszurechnen.
11.02.2012, 14:53	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Bloß sollte man tunlichst eine konvergente Majorante suchen, nicht wahr? Edit: Da es etwas missverständlich war: Gemeint war, dass ein "größerer" Integrand nichts bringt, wenn das neue Integral dann nicht existiert.
11.02.2012, 14:54	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, ja, entschuldigung.
11.02.2012, 14:57	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal entschuldigung. Das Majorantenkriterium habe ich da sehr durcheinander gebracht. Zu finden ist ja eine Funktion g für die gilt, daß $\begin{eqnarray} \left\vert\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\right\vert=\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\leq g \end{eqnarray}$ und für die das Integral existiert, also konvergiert... Komm grad nicht drauf..
11.02.2012, 15:24	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliches Integral berechnen Das Ganze ist eigentlich nicht weiter schwierig. Man kann z.B. benutzen, dass der Log langsamer wächst als jede Potenzfunktion (was man sich z.B. mit L'Hospital schnell klar machen kann). Bei der Potenzfunktion im Zähler sollte man dann nur darauf achten, dass der Exponent kleiner 1 ist, damit das Integral dann auch tatsächlich existiert.
11.02.2012, 15:31	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliches Integral berechnen Ah, danke! Dann einfach zum Beispiel $\begin{eqnarray} g(x):=\frac{\sqrt{x}}{x^2} \end{eqnarray}$ wählen. Dann ex. das Integral nach dem Majorántenkriterium.
11.02.2012, 15:34	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliches Integral berechnen Ja, wobei je nach Kenntnisstand eventuell noch ein paar Schritte hingeschrieben werden sollten, denn $\begin{eqnarray} \ln(1+\sqrt{x})< \sqrt{x} \quad \forall x>1 \end{eqnarray}$ ist ja auf den ersten Blick nicht zwangsweise sofort ersichtlich.
11.02.2012, 15:37	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliches Integral berechnen Danke, Mulder - fürs Retten dieses Threads. Ich hoffe, dass es der Fragesteller mir verzeiht, daß ich anfangs das Majorantenkriterium so schändlich benutzt habe. Da habe ich wirklich nicht genug nachgedacht, wie peinlich. So, jetzt könnte es theoretisch mit Teilaufgabe (ii) weitergehen. Aber ich warte doch erst vielleicht auf eine Reaktion des Fragestellers, ob ihm auch alles klar geworden ist.
11.02.2012, 15:56	BraehlerM	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei nicht so hart zu dir Dennis2010, bin für jede Hilfe dankbar Man muss also zeigen, dass die Funktion gegen etwas konvergiert, indem man sie in "Teile" splittet und diese dann miteinander vergleicht? z.B. $\begin{eqnarray} g(x):=\frac{\sqrt{x}}{x^2} \leq \sqrt{x} \leq x \end{eqnarray}$ Habe ich das so richtig verstanden?
11.02.2012, 15:58	BraehlerM	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei nicht so hart zu dir Dennis2010, bin für jede Hilfe dankbar Man muss also zeigen, dass die Funktion gegen etwas konvergiert, indem man sie in "Teile" splittet und diese dann miteinander vergleicht? z.B. $\begin{eqnarray} g(x):=\frac{\sqrt{x}}{x^2} \leq \sqrt{x} \leq x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} g(x):=\frac{\sqrt{x}}{x^2} < \sqrt{x} < x ; x > 1 \end{eqnarray}$ Habe ich das so richtig verstanden?
11.02.2012, 16:01	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, Da musst Du nichts aufsplitten. Du hast jetzt eine Funktion $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ gefunden, für die gilt (1) $\begin{eqnarray} \vert f(x)\vert\leq g(x) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ der Integrand desjenigen Integrals ist, für das Du die Existenz zeigen sollst. (2) $\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}g(x)\, dx<\infty \end{eqnarray}$ . Aus (1) und (2) folgt, daß auch $\begin{eqnarray} \int_1^{\infty}f(x)\, dx<\infty \end{eqnarray}$ , was Du zu zeigen hattest. Das ist das Majorantenkriterium, das man bei solchen Existenznachweisen sehr gerne benutzt, weil es doch recht handlich ist.
11.02.2012, 16:57	BraehlerM	Auf diesen Beitrag antworten »
Scheine in der Vorlesung geschlafen zu haben, als wir das hatten... Wäre nett, wenn vielleicht jemand von euch es einfach mal korrekt aufschreiben könnte, um so vielleicht dann auch endlich das Thema abzuschließen und ich einmal seh, wie es richtig funktioniert.
11.02.2012, 17:04	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich war das schon vernünftig aufgeschrieben. Beweis der Existenz von $\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\, dx \end{eqnarray}$ : Man wende das Majorantenkriterium an. Es gilt $\begin{eqnarray} \left\vert\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\right\vert=\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\leq \frac{\sqrt{x}}{x^2} \end{eqnarray}$ Da gilt $\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx=2<\infty \end{eqnarray}$ ex. obiges Integral.
11.02.2012, 17:35	BraehlerM	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen dank
11.02.2012, 17:37	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne!

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