Skalare Multiplikation in Vektorräumen nur von links?

11.02.2012, 14:20	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalare Multiplikation in Vektorräumen nur von links? Hi, eine kurze Frage, über dessen Antwort ich nur sicher gehen möchte: Mir war bisher nicht aufgefallen, dass die skalare Multiplikation in Vektorräumen (also das, wo ein Skalar aus dem Körper mit einem Vekor aus dem VR verknüpft werden) nur von links geschieht. Wenn ich die Definition anschaue, scheint sie tatsächlich nur von links definiert zu sein, d.h. man kann für einen Körper K und einen K-Vektorraum V berechnen: $\begin{eqnarray} \alpha\in K, v\in V: \alpha \cdot v \end{eqnarray}$ , aber folgendes ist nicht definiert: $\begin{eqnarray} \alpha\in K, v\in V: v\cdot \alpha \end{eqnarray}$ . Übersehe ich etwas, oder stimmt das so?
11.02.2012, 18:44	tychiades	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo In einem Vektorraum kannst du sowohl von links als auch von rechts mit Skalaren multiplizieren. Es gilt stets: $\begin{eqnarray} \alpha \cdot v = v \cdot \alpha \end{eqnarray}$ für einen Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ eines Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ über einem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \in K \end{eqnarray}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray} \alpha v = \alpha\begin{pmatrix} v_1\\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha v_1\\ \vdots \\ \alpha v_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_1 \alpha\\ \vdots \\ v_n \alpha \end{pmatrix} = v \alpha \end{eqnarray}$ Einfach deshalb, weil die $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ Elemente in einem Körper sind und da gilt natürlich die Kommutativität. Anders sieht die Sache bei Moduln aus, da ist der Skalarenbereich nur noch ein Ring. Da kann es tatsächlich vorkommen, dass $\begin{eqnarray} \alpha v \neq v \alpha \end{eqnarray}$ gilt. Aber Vektorräume verhalten sich im Allgemeinen recht schön. Ciao, tychiades
14.02.2012, 23:35	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Danke für die Antwort, so macht das natürlich Sinn Eine andere Frage kommt stattdessen gerade bei mir auf, wo ist eigentlich definiert (bzw. wie folgert man), dass $\begin{eqnarray} \alpha \begin{pmatrix} v_1\\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha v_1\\ \vdots \\ \alpha v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gilt? Mir kommt die Frage gerade blöd vor, aber ich bin verwirrt
15.02.2012, 18:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht definiert, das ist beweisbar, wenn man eine Basis $\begin{eqnarray} \{e_1,...,e_n\} \end{eqnarray}$ hat und es gilt $\begin{eqnarray} v=v_1e_1+...+v_ne_n=: \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \alpha v=\alpha (v_1e_1+...+v_ne_n)=\alpha v_1e_1+...+\alpha v_ne_n=\begin{pmatrix} \alpha v_1 \\ ... \\ \alpha v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
15.02.2012, 21:40	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, Danke =) Ich glaube, wir haben in unserer Vorlesung die Tupelschreibweise für Vektoren gar nicht so genau eingeführt
16.02.2012, 08:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, das habt ihr bestimmt getan, sonst macht die Schreibweise keinen Sinn. Ein Koordinatentupel stellt genau einen Vektor bezüglich einer Basis des Vektorraums dar.
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