Binomialentwicklung

11.02.2012, 16:18

KonTrast

Binomialentwicklung

Hallo,

ich lese gerade den Königsberger Analysis 1. Zurzeit hänge ich an dem Beweis zur Binomialentwicklung auf Seite 4, deshalb möchte ich hier fragen, ob mir hier jemand diesen Beweis erläutern könnte.

Vielen Dank im Voraus!

11.02.2012, 17:06

tychiades

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Ich finde den Beweis recht klar. Du müsstest schon konkret sagen, was du nicht verstehst.
Nimm zum Beispiel mal 4 Kugeln. Jetzt willst du herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei davon auszuwählen unter Berücksichtigung der Reihenfolge. Davon gibt es 12 Möglichkeiten, für die erste hast du 4 Möglichkeiten und für die zweite Kugel nur noch drei Möglichkeiten, also insgesamt 4*3=12 Möglichkeiten. Wenn du nicht berücksichtigen möchtest, in welcher Reihenfolge, die Kugeln ausgewählt wurden; wenn es dir also nur auf die ausgewählten Kugeln als solche ankommt, musst du noch durch 2!=2*1=2 dividieren (=Satz 1). Also gibt es nur noch 6 Möglichkeiten, zwei Kugeln von vieren auszuwählen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
Mal dir am besten ein Bildchen auf mit vier Kugeln und überprüfe das. Dann macht es sicherlich "klick".

11.02.2012, 17:15

KonTrast

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Zunächst Danke für deine Antwort.

Satz 1 und 2 sind mir absolut klar.

Zitat:

Du müsstest schon konkret sagen, was du nicht verstehst.

Ok, also dann fangen wir hier an:

"...und daraus dann x als Faktor zu nehmen." (Z. 2 des Beweises)

Wir nehmen also k Klammern (1+x). Und ziehen jetzt x als Faktor heraus oder wie?

11.02.2012, 17:33

tychiades

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Oh, ich hab gemeint, der Beweis zu Satz 2 (S. 4 ganz oben) ist dir nicht klar. Daher hab ich dazu was geschrieben. Aber dir ist der Beweis zu Satz 3 nicht klar. Ok, ich gucke mir das mal an und schreibe dann zurück.

11.02.2012, 18:05

tychiades

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Gemeint ist, diese $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Klammern $\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$ auszumultiplizieren. Dann entsteht gerade ein $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ , d.h. für $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ gibt es beim Ausmultiplizieren ein $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} k=3 \end{eqnarray*}$ gibt es beim Ausmultiplizieren ein $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ usw.
Die Frage ist nur, wie oft diese Summanden $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ vorkommen und das folgt aus dem vorherigen Satz; mit dem Binomialkoeffizienten. Wenn du z. B. 2 Klammern von 4 auswählst, dann gibt es davon 6 Möglichkeiten, deshalb hat man bei $\begin{eqnarray*} (1+x)^4 \end{eqnarray*}$ , wenn man es ausmultipliziert, den Faktor $\begin{eqnarray*} 6 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$ stehen. Man hat z. B. auch $\begin{eqnarray*} 4x^3 \end{eqnarray*}$ stehen, weil es gerade $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}=4 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten gibt, 3 Klammern von insgesamt vier auszuwählen. Das ist letztlich nur ein geschicktes Abzählen aller Möglichkeiten, aber leider sehr knapp aufgeschrieben als Beweis.

11.02.2012, 18:17

KonTrast

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super alles ist jetzt klar, danke!

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