Umgangston! Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
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11.02.2012, 18:04 eumel144 Auf diesen Beitrag antworten »
Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Meine Frage:
Habe Radius (z.B 19,65cm)von Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks - suche Berechnungsformel der drei Seitenlängen (geometrisch kein Problem)

Meine Ideen:
Geometrisch kann der Radius 6x auf den Kreis aufgetragen werden. Die drei jeweils übernächsten Auftragepunkte ergeben die Spitzen des gleichseitigen Dreiecks.
Geht es ggf mit Hilfe der Höhe des Dreiecks?
11.02.2012, 18:08 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Du erhältst den gesuchten Zusammenhang über die Seitenhalbierende.

Da der Radius bekannt ist, sollte der Pythagoras zur Berechnung der Seitenlänge dann ausreichen. Du kannst aber auch den Sinus nehmen, geht noch schneller, wenn du die Höhe hast.

smile

edit: Ist das Dreieck nun gleichseitig oder gleichschenklig? verwirrt
11.02.2012, 18:39 eumel144 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Das geht ja irre schnell Wink

Oje, ja - mein Fehler: in der Überschrift habe ich Gleichschenklig geschrieben. traurig Doch ich glaube nicht, daß man dann nach einer Formel und NUR mit dem Wissen des Radius des Umkreises alle Seiten ausrechnen könnte - nein, es heißt wie im Text dann zum Glück richtig:
gleichSEITIGES Dreieck. (sehr aufmerksam - danke).

Nochmal zur Frage:
Da ist also ein Kreis, von dem ich die Maße des Radius (oder Durchmesser) kenne. Nun paßt genau in diesen Kreis sicherlich ein gleichSEITIGES Dreieck mit nur einer genau definierten Seitenlänge. Und nun die Frage:
wie lang ist diese Seitenlänge, wenn der Radius (nur zB) 19,65cm ist?

Wohlgemerkt: zeichnerisch kein Problem, aber rechnerisch? Irgendeine Formel?
11.02.2012, 18:42 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Eine Formel kannst du dir ganz fix bei Wiki holen:

Ich dachte, du wolltest erkennen, wie die Zusammenhänge sind und die Seitenlänge selbst errechnen. Augenzwinkern
11.02.2012, 19:35 eumel144 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
okay - irgendwie hatte ich die Formel nicht gefunden -

d.h. also:

Ru = (SQR3 / 3) x a | /a
<=> Ru / a = SQR3 / 3 | Distr.
<=> Ru x 3 = a x SQR3 | /SQR3
<=> Ru x 3 / SQR3 = a

oder - äh geschockt , einfacher:
Ru = (SQR3 / 3) x a | /(SQR3 /3)
<=> Ru / (SQR3 /3) = a
<=> Ru x 3 / SQR3 = a

=> 19,65 x 3 / SQR3 = 34,03 ....

KORREKT? Gott

Nebenfrage: was meinst Du in dieser Sache mit Zusammenhängen?
11.02.2012, 19:56 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Deine Rechnung ist richtig. Freude

Mit Zusammenhängen meine ich die besonderen Verhältnisse in gleichseitigen Dreiecken.
Durch ihren Schnittpunkt werden Seitenhalbierenden jedes Dreiecks im Verhältnis 2:1 geteilt.
Im gleichseitigen Dreieck ist dieser Schnittpunkt gleichzeitig der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Alles weitere kannst du dir sicher denken. smile
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12.02.2012, 01:48 eumel144 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Na super:
Formel erhalten Prost Gleichung gelöst -> Danke Wink

Auch beim Zusatz alles klar:
1) die Mittelsenkrechten werden an deren Schnittpunkt geteilt im Verhältnis 2:1, d.h. von der Spitze zur Mitte 2 Teile, von der Basis zur Mitte 1 Teil.
2) im gleichseitigen Dreieck treffen sich die Winkelhalbierenden und die Mittelsenkrechten in einem Schnittpunkt: im Massezentrum des Dreiecks und im Mittelpunkt des Umkreises und Inkreises.

Willkommen

Mögliche philosophische Frage: Forum Kloppe
woher kommt hier die SQR3?
-> Drei Seiten des Dreiecks?
-> Mittelpunkt (= Wurzel) des Dreiecks / Umkreis / Inkreis?
-> Schnittpunkt von DREI Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten?
12.02.2012, 09:39 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Nein, die Wurzel aus 3 erhältst du, wenn du den Pythagoras zur Bestimmung des Zusammenhangs von r und a einsetzt.
Genau dies hatte ich dir eingangs vorgeschlagen. Augenzwinkern

Mit diesem Wissen:
Zitat:
die Mittelsenkrechten werden an deren Schnittpunkt geteilt im Verhältnis 2:1, d.h. von der Spitze zur Mitte 2 Teile, von der Basis zur Mitte 1 Teil.

... weißt du, dass r = 2/3 h.
Jetzt kannst du h als Ausdruck von r bestimmen und r als Ausdruck von a berechnen und kommst auf die oben genannte Formel.
Versuche es mal. smile
12.02.2012, 10:04 MrBlum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Vielleicht noch eine Skizze, man kann sich neben Pythagoras mit dem Wissen über die Winkelhalbierenden interessante Gedanken zu einigen häufigen Werten von Winkelfunktionen machen.
(Eventunnel selber bissl rumbasteln, einzeichnen, etc.)

LG smile
12.02.2012, 12:18 eumel144 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Hallo zusammen Wink

Ok, ich glaube, ich habe nun verstanden, was eingangs gemeint war:
Zusammenhänge von:
Seitenlänge - Radius - Höhe - Pythagoras
d.h.:

a² + (a/2)² = h² | Umformung h
<=> a² + (a/2)² = (r * 3/2)²

(leider komme ich mit dem Formeleditor nicht klar traurig )

Meint Ihr das?
12.02.2012, 13:28 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Genau das. Freude

Und jetzt löse mal nach r auf. smile
12.02.2012, 16:38 eumel144 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Ach - äh - da kann ich die Geometrie schon eher nachvollziehen. Augenzwinkern
Mit Auflösungen von Gleichungen hatte ich es (bisher) nie so. Meistens hab ich mich in ehlend langen Brüchen verstrickt, weil ich irgendwo nicht gekürzt hatte. verwirrt
Aber ich will es gerne versuchen bzw schrittweise (seid gnädig) lernen.
Also:
links sieht es irgendwie nach Teil der ersten binomischen Formel aus, die um 2ab erweitert werden müßte. So - oder schon Verstrickung? Teufel
12.02.2012, 16:44 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Ist eine Verstrickung. Mit Binomis hat das nicht so viel zu tun. Du musst nur den Nenner von (a/2)² aus der Klammer holen, dann kannst du die a²s zusammenfassen.
Ich würde auch die 3/2 aus der Klammer holen.

smile

edit: Es muss übrigens so heißen: a² - (a/2)² = (r * 3/2)², denn a ist ja die Hypotenuse.
Das hatte ich übersehen.
12.02.2012, 17:04 eumel144 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Hypothenuse = dem rechten Winkel gegenüber bzw längere Strecke.
hier = a
Na logisch, somit:
(a/2)² + h² = a² | - (a/2)²
<=> h² = a² - (a/2)² | Umformung h
<=> (r * 3/2)² = a² - (a/2)²

soweit. Und jetzt Richtung a auflösen. Schön, aber ich weiß nicht weiter.... Teufel
SCHRITTWEISE Hilfe möglich? Gott Forum Kloppe
12.02.2012, 17:05 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Ich habe es schon gesagt:
Zitat:
Du musst nur den Nenner von (a/2)² aus der Klammer holen, dann kannst du die a²s zusammenfassen.
Ich würde auch die 3/2 aus der Klammer holen.
12.02.2012, 17:13 eumel144 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Sorry - das hab ich gelesen, aber nicht verstanden. Daher die Frage vielleicht nach SCHRITTWEISER Auflösung bitte nochmals ...
"den Nenner von (a/2)² aus der Klammer holen ?" -
was meinst Du damit?
Vielleicht einfach nur den Hergang aufschreiben, wie ich es gemacht habe so mit dem "|" -Zeichen?
Ich finde, wir sind schon weit gekommen. Wäre schade, wenns jetzt hängt.
12.02.2012, 17:16 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?


Das solltest du aber wirklich alleine hinbekommen... verwirrt
12.02.2012, 18:39 eumel144 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
achso - Du meinst Klammer "auflösen" Freude Ich hab echt nicht verstanden, was mit "aus der Klammer holen" gemeint war. Tanzen

Wenn ich einen Lösungsweg suche, versuche ich auch die einzelnen Schritte zu verstehen - ansonsten bleib ich lieber gleich bei der Formel.

Wie weit sind wir denn jetzt:

Frage: wie lautet die Seitenlänge eines gleichSEITIGEN Dreiecks, wenn der Radius des Umkreises 19,65cm beträgt.

1) Abhängigkeiten:
a) die Mittelsenkrechten werden an deren Schnittpunkt geteilt im Verhältnis 2:1, d.h. von der Spitze zur Mitte 2 Teile, von der Basis zur Mitte 1 Teil.
b) im gleichseitigen Dreieck treffen sich die Winkelhalbierenden und die Mittelsenkrechten in einem Schnittpunkt: im Massezentrum des Dreiecks und im Mittelpunkt des Umkreises und Inkreises.

2) Aufstellung der Gleichung mit Lösungsweg:
(a/2)² + h² = a² | - (a/2)²
<=> h² = a² - (a/2)² | Umformung h
<=> (r * 3/2)² = a² - (a/2)² | Klammer auflösen
<=> (r * 3/2)² = a² - a²/ 4 | Klammer auflösen
<=> r² * 9 / 4 = a² - a²/ 4 | .... und weiter Richtung Auflösung von a?

Bitte, wenn ich das könnte, würde ich es nicht geometrisch versucht haben und jetzt auch nicht fragen - also Gott Forum Kloppe
12.02.2012, 18:44 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
r² * 9/4 = a² - a²/4 Freude

Nun ziehe doch mal das Viertel a² von dem ganzen a² ab.
12.02.2012, 19:14 eumel144 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
versteh ich nicht - dann hab ich a doch wieder auf beiden Seiten:

....

2) Aufstellung der Gleichung mit Lösungsweg:
(a/2)² + h² = a² | - (a/2)²
<=> h² = a² - (a/2)² | Umformung h
<=> (r * 3/2)² = a² - (a/2)² | Klammer auflösen
<=> (r * 3/2)² = a² - a²/4 | Klammer auflösen
<=> r² * 9/4 = a² - a²/4 | +a²/4
<=> (r² * 9 /4) + (a²/4) = a² ????????????????
12.02.2012, 19:17 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Zitat:
<=> r² * 9/4 = a² - a²/4 | -a²/4


Um die a²/4 zu subtrahieren ziehe sie einfach ab. Was ist 1 - 1/4?

smile
12.02.2012, 19:51 eumel144 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
.... sehe den Sinn nicht und finde es auch unpädagogisch. Somit klappt das bei mir so nicht. Ok -danke auf jeden Fall soweit.

PS: 1-1/4 = 0,75
12.02.2012, 19:54 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Zitat:
Original von eumel144
.... sehe den Sinn nicht und finde es auch unpädagogisch. Somit klappt das bei mir so nicht.

Unpädagogisch.... unglücklich

Wenn du halt überhaupt nicht weißt, dass man a² - 1/4 a² direkt berechnen kann.

Zitat:
Original von eumel144
PS: 1-1/4 = 0,75


Freude
12.02.2012, 20:10 eumel144 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
oh klasse - jetzt wird es in Diskussion mit "sulo" spannend, nur leider nicht mehr mathematisch und von daher für mich beendet.

Vielleicht hat jemand eine Idee, wie die Gleichung Richtung Auflösung von a zu lösen ist? Was "sulo" zumindest richtig bemerkt: ich weiß nicht weiter - ansonsten würd ich mich hier auch nicht melden.
12.02.2012, 21:09 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vom Umkreis zur Seitenlänge des gleichschenkligen Dreiecks?
Zitat:
Original von eumel144
oh klasse - jetzt wird es in Diskussion mit "sulo" spannend, nur leider nicht mehr mathematisch und von daher für mich beendet.
...

In diesem Falle ist die Sache auch für uns beendet!
Von Seiten der Helferin wurde dir große Geduld entgegengebracht. Du antwortest mit Ungeduld und unsachliche Bemerkungen.
Ein solcher Umgangston deinerseits erzeugt keine weitere Lust mehr, sich mit deinem Anliegen zu beschäftigen.

*** geschlossen ***
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