Differentationsregel

11.02.2012, 20:44

Mathe92

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Differentationsregel

Hallo

Ich habe gerade eine, mir fremde, Art zu differenzieren gefunden.
Ich gebe mal das beispiel:

f(x)=x^x
Betrachte die beiden x unabhängig voneinander also x^y mit y=x und leite ab.
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{d x} x^{y}=y* x^{y-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{d}{d y} x^{y}=x^{y}*ln(x) \end{eqnarray*}$
und addieren ergiebt die Ableitung
$\begin{eqnarray*} f'(x)=y* x^{y-1}+x^{y}*ln(x)=x* x^{x-1}+x^{x}*ln(x) \end{eqnarray*}$

Ich mein ich hätte das mit der Kettenregel abgeleitet, aber ich finde diese Regel schon ein bisschen einfacher.
Nur finde ich keinen Beweis dafür.

Also gibt es einen beweis dafür oder hat diese Regel einen bestimmten namen?

11.02.2012, 21:36

lolsen

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lol

smile

Ist (leider) purer Zufall. Tatsächlich funktionierts auch für andere Beispiele, wie etwa für f(x)=x²

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}x\cdot y=y \ , \ \ \frac{d}{dy}x\cdot y=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x)=y+x=2x \end{eqnarray*}$

aber bereits das Beispiel $\begin{eqnarray*} f(x)=1=\frac{x}{x} \end{eqnarray*}$ (wegen mir außerhalb von 0):

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}x \cdot \frac{1}{y}=\frac{1}{y} \ , \ \ \frac{d}{dy}x\cdot \frac{1}{y}=x \cdot \log(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}+x \cdot \log(x) \end{eqnarray*}$

macht deutlich, dass es Probleme gibt, erstens weil das Ergebnis schlicht falsch ist, und zweitens, weil es nicht invariant gegenüber der Darstellung von f ist, ein Problem, dass sich auch bei x^x ergibt, wenn man da etwas umbaut.

11.02.2012, 21:54

Mathe92

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Hi

Mit dem Gegenbeispiel bin ich irgendwie noch nicht so ganz zufrieden.

Da deine Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy}x\cdot \frac{1}{y}=x \cdot \log(y) \end{eqnarray*}$ ist.
Das entsprich meines Wissens nach einer Integration.

Aber bei mir ist das $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy}x\cdot \frac{1}{y}= - \frac{y}{x^2} \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Ich finde aber absolut kein Gegenbespiel.

11.02.2012, 21:57

speedyschmidt

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Ich kann leider nichts zur Lösung beitragen, aber zu lolsen:

Du hast falsch abgeleitet, Dein Gegenbeispiel ist keins smile

smile

.

11.02.2012, 21:57

Mathe92K

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Zitat:

Original von Mathe92

Ich finde aber absolut kein Gegenbespiel.

Was ich damit sagen wollte, das kann kein Zufall sein. .... oder? verwirrt

verwirrt

11.02.2012, 22:06

Trak92

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also Iolsen hat beim ableiten einen Fehler gemacht, es kommt bei der ableitung.

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy}xy^{-1}=-\frac{x}{y^{2}} \end{eqnarray*}$ heraus und nichts mit einem logarithmus...

Ob das verfahren allgemeine Gültigkeit hat weiss ich nicht...

Man könnte ja mal probieren das hier gemeinsam zu beweisen...Sobald ich eine einigermassen gute Idee habe schreibe ich was hin.

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11.02.2012, 22:31

Mathe92

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Hi

Also ich habe mir mal die Partielle Ableitung angeguckt. Ich weiß nicht ob ich sie richtig verstanden habe (bin im 1. Semester).

Aber, wenn ich das eine x zu y substituiere, dann kann ich ja die Partielle Integration anwenden.
Und dies geschieht dann denke ich genau so wie in meinem Post oben.
Und nachher setzt man y wieder zu x.

Nur ich habe keine Ahnung, ob es da einen Beweis benötigt. Graphisch kann ich mir das ganze irgendwie auch nicht erklären.

11.02.2012, 22:38

Trak92

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na mit der partiellen integration kehrt man ja die kettenregel beim differenzieren um, aber das was du machst erinnert mich eher an eine Lösung zu einer differentialgleichung...

Ich werd mal drüber nachdenken, ob sich das erstmal für eine ableitung von einer natürlichen Potenz beweisen lässt..

aber viel kannst du von mir auch nicht erwarten, bin auch erst erstsemester und noch nicht mal mathe unglücklich

unglücklich

11.02.2012, 22:44

Mathe92

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Oh, Entschuldigung !
Ich meinte natürlich die Partielle Ableitung.

Aber ich finds cool, dass wir Erstis uns am Samstagabend mit Mathematik beschäftigen. smile

smile

11.02.2012, 22:45

speedyschmidt

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Das ganze nennt sich Kettenregel:

http://de.wikipedia.org/wiki/Verallgemeinerte_Kettenregel

Unten ist sogar genau Dein Beispiel smile

smile

Edit: Das, was hier gebraucht wird, findet sich bei Spezialfall m=n=1.

11.02.2012, 22:55

Trak92

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Danke für die Aufklärung!

Ich werde mir das in Ruhe durchlesen....

den satz vor dem beispiel finde ich klasse:

Zitat:

Eine weniger trickreiche, unmotivierte oder spezielle Methode zur Lösung

P.S. @Mathe92 was studierst du denn? und wie bist du überhaupt auf diese regel gekommen?

11.02.2012, 23:08

speedyschmidt

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find ich genauso trickreich.. umweg über mehrere dimensionen ist wohl eher nicht so alltäglich smile

smile

11.02.2012, 23:12

Trak92

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vor allem das Wort unmotiviert finde ich im Bezug auf eine Rechenmethode interessant gewählt... smile

smile

11.02.2012, 23:15

Mathe92

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@speedyschmidt
Super! Danke dir Freude

Freude

@Trak92
Ich studiere Mathe
Ist ein bisschen schwierig das zu erklären.
Ich musste $\begin{eqnarray*} x^x \end{eqnarray*}$ ableiten und habe es aus Routine $\begin{eqnarray*} f'(x)=x*x^{x-1}=x^2 \end{eqnarray*}$ abgeleitet.
Da ist mir dann aufgefallen, dass es falsch ist und habe es nochmal so abgeleitet.
Und da kam dann eben $\begin{eqnarray*} x^2+x^{x}*ln(x) \end{eqnarray*}$ raus.
DA hab ich mir gedacht:"moment mal $\begin{eqnarray*} x^{x}*ln(x) \end{eqnarray*}$ kenn ich doch"
Da ich vorher schon $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ abgeleitet habe.
So habe ich 1 und 1 zusammengezählt. und es an mehreren Funktionen ausprobiert.
Ich glaube so ungefähr war es

Wie du merkst -kein Mathegenie- nur Zufall. Wink

Wink

11.02.2012, 23:16

speedyschmidt

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nein, mathegenie Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
auch gauß, euler und co sind durch probiererei ans ziel gekommen

11.02.2012, 23:17

Mathe92

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das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ soll ein $\begin{eqnarray*} x^x \end{eqnarray*}$ sein

(ich muss mich echt mal registrieren damit ich sowas ausbessern kann)

11.02.2012, 23:19

Trak92

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Ich bin dann mal weg...

vielleicht trifft man sich ja wieder im Forum...

schönen abend noch wünsche ich euch Wink

Wink

11.02.2012, 23:29

Mathe92

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@speedyschmidt
Danke! bei dem Vergleich grinse ich nun ungefähr so --> Big Laugh

Big Laugh

Heute kann ich gut schlafen. Freude

Freude

Euch noch einen schönen Abend

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