Extremwertaufgabe Zylinder in Kugel - Seite 2

12.02.2012, 15:33

thilo86

bei der letzten Zeile hab ich das ² vergessen so sollte die aussehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{R²-r²}*\sqrt{R²-r²}=r² \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 15:37

sulo

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Sehr schön. Freude

Was ist denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}*\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

12.02.2012, 15:43

thilo86

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Oh die Wurzel löst sich ja auf Big Laugh

also ist des Rätsels Lösung
$\begin{eqnarray*} R²-r²=r² \end{eqnarray*}$

da kann ich dann die Wurzel ziehen damit das Quadrat wegfällt(?) dann wäre die lösung
$\begin{eqnarray*} \frac{R}{2} =r \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 15:46

sulo

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Hmm, Wurzelziehen solltst du noch mal üben... verwirrt

$\begin{eqnarray*} R²-r²=r² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R² = 2 r² | : 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} R² = r² | \sqrt{} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? smile

12.02.2012, 15:52

thilo86

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uups ich will die Wurzel immer gleich am Anfang ziehen böse

Also ist die Lösung dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}R=r \end{eqnarray*}$

Ich sollte echt darauf achten das ich nicht immer so voreilig rechne und soviele leichtsinnsfehöer mache Forum Kloppe

12.02.2012, 15:55

sulo

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Stimmt leider immer noch nicht. (1/2)² = 1/4 Augenzwinkern

Lass es doch mal deinen Taschenrechner machen: Ziehe die Wurzel aus 0,5

smile

12.02.2012, 15:56

thilo86

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Und die dazugehörende Höhe bekomme ich ja indem ich r in die Mantelflächenform einsetze
$\begin{eqnarray*} M=2\pi \frac{\sqrt{2} }{2}R*h \end{eqnarray*}$ und dann nach h auflösen
ist die Lösung etwa $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2} }{2}\pi R=h \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 15:58

thilo86

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2} }{2} \end{eqnarray*}$ also r= $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2} }{2} R \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 15:59

sulo

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Jo, das ist es. Freude

Wie lautet jetzt die Formel für das maximale Mantelvolumen? smile

12.02.2012, 16:04

thilo86

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Von der Mantelfläche wäre es $\begin{eqnarray*} M=2\pi \frac{\sqrt{2} }{2}R*h \end{eqnarray*}$ vom Volumen ist die Formel $\begin{eqnarray*} V=\pi r²*h \end{eqnarray*}$ muss ich da das r auch einsetzen?

12.02.2012, 16:08

sulo

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Hmm, ich würde die geänderte Mantelformel nehmen:

$\begin{eqnarray*} M(r)= 4\pi r\sqrt{R²-r²} \end{eqnarray*}$

Dann erhältst du das gesuchte Ergebnis. Dies ist übrigens Teil 7:

Zitat:

7.Wie groß ist die max. Mantelfläche in Abhängikeit von R?

12.02.2012, 16:13

thilo86

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Achso jetzt nutze ich das Volumen um meine Höhe zu errechnen? Also:

$\begin{eqnarray*} V=\pi \frac{\sqrt{2} }{2} *h \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 16:21

thilo86

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$\begin{eqnarray*} h=\sqrt{2}\pi \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 16:23

sulo

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Zitat:

5.Welche Höhe H gehört zum Radius R?

Welche Höhe ist gemeint? Doch die des Zylinders, richtig? Aber du hast sie h genannt:

Zitat:

Der Zylinder habe den Radius r und die Höhe h.

Soll es die Höhe der Kugel sein? Das ist doch etwas albern... verwirrt

Weiterhin habe ich noch nicht die richtige Gleichung für den maximalen Mantel gesehen.

12.02.2012, 16:30

thilo86

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Ja das sollte die Höhe h vom Zylinder zu dem soeben ausgerechneten r sein.

Oh upps die hab ich aufs Papier geschrieben und vergessen einzutippen

$\begin{eqnarray*} M=4\pi \frac{\sqrt{2} }{2}R(R²-\frac{\sqrt{2} }{2}R²) \end{eqnarray*}$

zusammengefasst ergibt es $\begin{eqnarray*} M=2\sqrt{2}\pi R(\frac{2-\sqrt{2} }{2}R²) \end{eqnarray*}$
kann man nun weiter vereinfachen?

12.02.2012, 16:37

sulo

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Das stimmt irgendwie nicht so recht...

$\begin{eqnarray*} M(r)= 4\pi r\sqrt{R²-r²} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r = \frac{\sqrt{2} }{2} R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M= 4\pi\frac{\sqrt{2} }{2} R \sqrt{R²-\left( \frac{\sqrt{2} }{2} R\right) ²} \end{eqnarray*}$

Du kannst die Wurzeln vereinen. Außerdem kannst du die große Wurzel zusammenfassen.

smile

12.02.2012, 16:47

thilo86

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Also zusammengefasst hab ich sie ja da kam dann $\begin{eqnarray*} \frac{2-\sqrt{2} }{2}R² \end{eqnarray*}$ das raus und jetzt fällt mir auf ich hab die Klammer vergessen und muss ja die dann quadrieren Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 4\pi \frac{\sqrt{2} }{2}R\sqrt{\frac{1}{2}R² } \end{eqnarray*}$

so nun die Wurzel ziehen und zusammenfassen

also $\begin{eqnarray*} M=4\pi \frac{1}{2} R \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 16:52

sulo

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Fast....

Was wird aus dem R² in der Wurzel? Und die Zahlen kannst du auch noch ein bisschen zusammenfassen.

smile

12.02.2012, 16:53

thilo86

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Hmm hab grad überöegt ob man die Wurzel eigentlich ziehen darf, ich glaub das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} M=4\pi \sqrt{\frac{\sqrt{2} }{4}R²} \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 16:55

thilo86

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Hmm also R mal R ist ja bekanntlich R² da hab ich am Ende das Quadrat mal wieder vergessen...

Also $\begin{eqnarray*} M=2\pi R² \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 16:58

sulo

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Das ist richtig. Freude

Jetzt zur Höhe. Wir hatten ja gesagt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} h=2\sqrt{R²-r²} \end{eqnarray*}$

Damit würde ich arbeiten. smile

12.02.2012, 17:01

thilo86

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$\begin{eqnarray*} h=\sqrt{2}R \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 17:03

sulo

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Wieder richtig. Freude

Ich würde vielleicht eher so schreiben: $\begin{eqnarray*} h=R\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Fehlt noch Teil 6:

Zitat:

6.Berechnen Sie das Verhältnis HR

Hmm, das haben wir doch eigentlich gerade berechnet oder? verwirrt

12.02.2012, 17:05

thilo86

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Supi okay das mit der Schriebweise ach ich..Ähm also in der Aufgabenstellung steht ich soll das Verhältnis vom eben berechneten h zum vorhin berechnet radius ermitteln(ich konnte leider kein Index 0 hinzufügen dann wäre es klarer gewesen) smile

12.02.2012, 17:13

sulo

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Also schon h : R ?

Naja, dann halt: $\begin{eqnarray*} \frac{h}{R} = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

Nun setze für a und b die richtigen Zahlen ein. smile

12.02.2012, 17:14

thilo86

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kann ich das vorhin berechnete $\begin{eqnarray*} r=\frac{\sqrt{2} }{2}R \end{eqnarray*}$ nach R umformen und dies dann in die eben verwendete Formel h einsetzen damit ich das Verhältnis h/r bekomme?

12.02.2012, 17:16

sulo

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Ach du Schreck, nimm doch lieber $\begin{eqnarray*} h=R\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

12.02.2012, 17:17

thilo86

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Zitat:

Original von sulo
Also schon h : R ?

Naja, dann halt: $\begin{eqnarray*} \frac{h}{R} = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

Nun setze für a und b die richtigen Zahlen ein. smile

zu h und r also $\begin{eqnarray*} h=R\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=\frac{\sqrt{2} }{2}R \end{eqnarray*}$
Gut dann setze ich diese mal ein Augenzwinkern

12.02.2012, 17:19

sulo

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Das verstehe ich nicht. verwirrt

Frage: Um welches Verhältnis geht es: $\begin{eqnarray*} \frac{h}{R} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{h}{r} \end{eqnarray*}$ verwirrt

12.02.2012, 17:20

thilo86

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Also ist das Ergebnis 2 smile

12.02.2012, 17:21

thilo86

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Zitat:

Original von sulo
Das verstehe ich nicht. verwirrt

Frage: Um welches Verhältnis geht es: $\begin{eqnarray*} \frac{h}{R} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{h}{r} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Tut mir leid das ist jetzt bisschen kompliziert gewesen das geht um das Verhältnis von h zu r also das wie eben von mir beschrieben(das r das wir im 4.Teil berechnet haben)

12.02.2012, 17:27

sulo

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Schade, dass du es eingangs so nachlässig aufgeschrieben hast:

Zitat:

6.Berechnen Sie das Verhältnis HR

Zum Ergebnis:

Zitat:

Also ist das Ergebnis 2

Ist im Prinzip richtig, ich würde aber lieber ein Verhältnis angeben: h:r = 2:1 Augenzwinkern

12.02.2012, 17:29

thilo86

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Zitat:

Original von sulo
Schade, dass du es eingangs so nachlässig aufgeschrieben hast:

Zitat:

6.Berechnen Sie das Verhältnis HR

Zum Ergebnis:

Zitat:

Also ist das Ergebnis 2

Ist im Prinzip richtig, ich würde aber lieber ein Verhältnis angeben: h:r = 2:1 Augenzwinkern

Ja das habe ich wirklich tut mir leid und ein ganz großes DANKESCHÖN smile

Dar fich dir noch eine kleine Frage stellen zu einer Ableitung oder habe ich diene Geduld überstrapaziert? geschockt

12.02.2012, 17:30

sulo

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Kommt drauf an, was für eine Ableitung es ist. Augenzwinkern

12.02.2012, 17:31

thilo86

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$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{1+x}{x})^{n} \end{eqnarray*}$

Also die Lösung hab ich weiß nur nicht ob Sie stimmt smile

12.02.2012, 17:31

sulo

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Dann schreibe sie doch mal auf... Big Laugh

12.02.2012, 17:34

thilo86

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Meine Lösung wäre hier durch die Quotientenregel

$\begin{eqnarray*} f(x)=n(\frac{2x-1}{x²})^{n-1} \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 17:39

sulo

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Ich denke, da hast du es dir ein bisschen zu einfach gemacht.

$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{1+x}{x})^{n} = \frac{(1+x)^n}{x^n} \end{eqnarray*}$

Sieh es mal so und leite entsprechend der Quotientenregel ab. smile

12.02.2012, 17:52

thilo86

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Hmm ich kann ja den Nenner hochholen und wenn ich das zusammenfasse nach Produkt und Kettenregel komme ich nur soweit

$\begin{eqnarray*} f(x)=nx^{n-1}*x^{n-1}+x^{n}*nx^{n-2} \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 18:01

sulo

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Es stimmt leider auch nicht. Die KLammer kann doch nicht so einfach wegfallen... verwirrt

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