Extremwertaufgabe Zylinder in Kugel

11.02.2012, 23:24

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Extremwertaufgabe Zylinder in Kugel

Hall zusammen. Ich studiere nun im 3. Semester Medizintechnik an der Fachhochschule und verzzweifel leider an dieser Aufgabe verwirrt

verwirrt

.

Da ich bald Kalusuren habe verzweifel ich an dieser Aufgabe die 1 zu 1 drankommen wird. Bitte helft mir :-D).

Gegeben ist eine Kugel mit festem Radius R, aus der ein Zylinder mit max. Mantelfläche(Oberfläche ohne Deckel und Boden) ausgeschnitten werden soll. Der Zylinder habe den Radius r und die Höhe h.

1. Bestimmen Sie die Höhe h des Zylinders als Funktion von r und R(Radius Kugel).
Hinweis: Sie brauchen hierfür lediglich den Satz des Phytagoras.

Nun hab ich hier die Mantelfläche mit M=2\pi r h
Der Satz des Phytagoras lautet hier R²=r²+(h/2)²

Wenn ich dies nun nach r auflöse erhalte ich r=-h2+R und dies kann ich in die nach h aufgelöste Formel einsetzen und erhlate h(r,R)=M/(2\pi (-h/2+R))

Nun bei den nächsten Aufgaben verzweifel ich schon unglücklich

unglücklich

.

2.Bestimmen Sie die Mantelfläche M(r) des Zylinders als Funktion von r und R.
3.Innerhalb welcher Grenzen rmin \leq r \leq rmax kann r gewählt werden und wie groß ist die Mantelfläche an diesen Grenzen?
4.Für welches R wird M(r) maximal?
5.Welche Höhe H gehört zum Radius R?
6.Berechnen Sie das Verhältnis HR
7.Wie groß ist die max. Mantelfläche in Abhängikeit von R?

Ichhoffe wirklich ihr könnt mir helfen ich hab schon so viel rumgerechnet und komm einfach auf keine Lösung!

Viel dank schonmal im Vorraus!

11.02.2012, 23:27

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe Zylinder in Kugel
Du hast die gleiche Anfrage auch dort schon gestellt. Ein solches Crossposting wird nirgendwo gerne gesehen.
Eigentlich sollte ich diesen Thread schließen.

11.02.2012, 23:32

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe Zylinder in Kugel
Da stut mir leid ich nutze das erstemal so Foren aber das Problem ist das ich verzweifel und seit Tagen versuche eine Lösung zu finden. nun ich werde meinerseits den Treaht auf der anderen Seite löschen und hoffe ihr helft mir trotzdem Hilfe

Hilfe

11.02.2012, 23:39

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe Zylinder in Kugel
Der Satz des Phytagoras lautet hier R²=r²+(h/2)² Freude

Freude

Wenn ich dies nun nach r auflöse erhalte ich r=-h/2+R geschockt

geschockt

Wie bist du denn auf diese Umwandlung gekommen? Du kannst doch nicht einfach die Quadrate wegfallen lassen...

11.02.2012, 23:40

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm kann ich davon nicht die Wurzel ziehen damit alle Quadrate wegfallen ohje ich bin echt kein MAthe Ass unglücklich

unglücklich

11.02.2012, 23:44

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich dies nun auflöse nach r² lautet dies r²=R²-(h/2)² oder ? kann ich dies dann in dei Mantelflächenformel einsetzen?

Anzeige

11.02.2012, 23:44

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum willst du das tun? Du sollst nur die Höhe h mit R und r darstellen.

11.02.2012, 23:47

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut kann ich dann in die nach h aufgelöste Formel also h(r)= M/ 2*pi*r das r einsetzen? Aber da ist ja noch da Quadrat?! Oh ich merke gerade das ich wohl noch viel Hilfe brauch geschockt

geschockt

11.02.2012, 23:52

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage mich, warum du ein technisches Fach studierst, wenn du solche Probleme in der Mathematik hast... verwirrt

verwirrt

Abgesehen davon wüsste ich doch gerne, woher du weißt, dass diese Aufgabe in der Klausur drankommt.

Wenn du in M einsetzt, ist das schon Teil 2.
Erst einmal sollte Teil 1 fertig sein.

11.02.2012, 23:54

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja weil ich am Dienstag eine mündliche Prüfung habe genau über diese Aufgaben eben diese auch. An sich bin ich in Mathe garnoch so schlecht aber irgendwie lässt mich diese Aufgabe echt verzweifeln...

11.02.2012, 23:58

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wurde dir die Aufgabe schon mal gegeben, damit du sie lösen und vortragen kannst?
Bedenke, dass die Prüfer diese Aufgabe leicht googeln können... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu Teil 1:

Zitat:

Original von sulo
Du sollst nur die Höhe h mit R und r darstellen.

Mit anderen Worten: Forme die Gleichung R²=r²+(h/2)² nach h um. smile

smile

12.02.2012, 00:04

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mein Gott ein Lichtblick smile

smile

und ic lös immer nach r um unglücklich

unglücklich

.

okay also wenn ich nun nach h auflöse lautet die Höhe wie folgt:

Also da ich das mit der Wurzel ja vorhin nich machen durfte steh ich wieder auf dem Schlauch ist die Lösung h²=2R²-2r² ? (ich will garnicht wissen was Sie von mir denken traurig

traurig

)

12.02.2012, 00:08

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die Wurzel schreiben, du kannst sie nur nicht ziehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist (h/2)², wenn du die Klammer auflöst?

12.02.2012, 00:12

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay das hab ich auch auf dem Baltt stehen und war aber nicht sicher Freude

Freude

also die Klammer aufgelöst ist 1/4 h² oder halt h²/4

12.02.2012, 00:14

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso dann ist die Lösung $\begin{eqnarray*} h=\sqrt{R²-r²} *4 \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 00:15

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig. Freude

Freude

R² = r² + h²/4

Jetzt müsste das Umstellen nach h richtig werden.

Zitat:

Original von thilo86
Achso dann ist die Lösung $\begin{eqnarray*} h=\sqrt{R²-r²} *4 \end{eqnarray*}$

Hmm, die 4 muss unter die Wurzel, du kannst sie auch rausholen, dann ist es aber eine 2. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Inzwischen ist es recht spät (oder früh), ich werde demnächst off gehen.
Vielleicht hilft noch jemand anderes weiter, ansonsten werde ich morgen wieder im Board sein.
Ach ja: Wir duzen uns hier alle. smile

smile

12.02.2012, 00:24

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe nun einfach die Lösung stimmt. Wenn ich nun die MAntelfläche bestimmen soll lautet diese $\begin{eqnarray*} M(r)= 8\pi r\sqrt{R²-r²} \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 00:25

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also dann ist bei der Matelfläche auch nur 4 pi. Vielen dank für deine Hilfe Big Laugh

Big Laugh

und hoffe jemand anders oder du hilfst mir morgen weiter Wink

Wink

12.02.2012, 00:32

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wollen wir es noch mal richtig festhalten: $\begin{eqnarray*} M(r)= 4\pi r\sqrt{R²-r²} \end{eqnarray*}$

Und Teil 1: $\begin{eqnarray*} h=2\sqrt{R²-r²} \end{eqnarray*}$

Bis denn. Wink

Wink

12.02.2012, 11:46

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nun bin ich bei Aufgabe 3 und frage mich wie ich auf rminund rmax komme.

Ich hab da eine Idee das ich die Mantelfläche nun nach r auflösen muss. Wobei ich daran scheiter verwirrt

verwirrt

.

12.02.2012, 11:49

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst dir dabei nur Gedanken um den Definitionsbereich machen.

Wie klein kann der Radius höchstens werden und wie groß? Orientiere dich dabei an einer Skizze. Betrachte die Kugel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: Du wirst dann auch erkennen, wie groß die Mantelfläche ist, wenn du die Grenzwerte einsetzen würdest (Du musst dazu nicht rechnen, es wird durch sofort klar, wenn du die Grenzwerte erkannt hast.)

Leider muss ich jetzt erst mal off (Mittag), bin aber in etwa 1,5 Stunden wieder hier. smile

smile

12.02.2012, 11:56

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okay wenn ich jetzt nach einer Skizze gehe ist es sehr einleuchtend smile

smile

und irgendwie habe ich das Gefühl das ich mir immer erst den schweren Weg aussuche geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} \frac{h}{2}\leq r\leq R \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 12:46

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm jetzt wo ich die Skizze länger betarchte und drüber nachdneke frage ich mich ob der Definitionsbereich denn nicht $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq R \end{eqnarray*}$ sein kann.
wobei der Radius ja den Wert 0 nicht annehmen darf verwirrt

verwirrt

Und wenn die Mantelfläche gegen 0 geht müsste das h größer werden und wenn das r gegen R geht müsste das h kleiner werden, somit müsste die Mantelfläche eigentlich überall gleichbleiben oder?

12.02.2012, 13:26

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst: Deinen Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq R \end{eqnarray*}$ würde ich auch so sehen. Freude

Freude

Dann überlege mal, was passiert, wenn in der Gleichung $\begin{eqnarray*} M(r)= 4\pi r\sqrt{R²-r²} \end{eqnarray*}$ r = 0 bzw. r = R wird. smile

smile

12.02.2012, 13:48

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut wenn ich null einsetze würde ja null rauskommen und wenn ich R einsetze würde dann $\begin{eqnarray*} M=4\pi R \end{eqnarray*}$ da die Wurzel ja wegfällt.

Aber mein Radius darf ja nicht null sein da sonst keine Mantelfläche da ist, also auch kein Zylinder oder?

12.02.2012, 14:04

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn jetzt bei der nächsten Aufgabe gefragt wird bei welchem r die Mantelfläche maximal wird...hmm ist das dann nicht mein rmax also laut Definitionsbereich mein R.

12.02.2012, 14:06

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du r = R setzt, wird die Wurzel 0, und damit auch die Mantelfläche. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für Teil 4 musst du nun Ableiten. smile

smile

12.02.2012, 14:08

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich mal ne Frage stellen wenn die Mantelfläche immer Null wird gibt es ja kein Zylinder mehr ist das so in ORdnung?

12.02.2012, 14:10

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Mantelfläche 0 ist, hast du keinen Körper. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Abgesehen davon soll die Mantelfläche ja maximal werden, nicht minimal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.02.2012, 14:13

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich jetzt ableite muss ich ein Hochpunkt ausrechnen oder nur die Ableitung nach r auflösen? wEil bei mir in der Aufgabe steht noch das ich nicht beweisen soll das es ein Maximum ist(das hab ich vergessen reinzuschreiben)

12.02.2012, 14:16

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du es nicht beweisen musst, kannst du auf die zweite Ableitung verzichten. Mir ihr untersuchst du nämlich, ob du ein Min oder ein Max vorliegen hast.

Du leitest also nach r ab und rechnest r aus, indem du die Ableitung = 0 setzt. smile

smile

12.02.2012, 14:21

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Supi dann hab ich endlich mal was richtig gedacht Freude

Freude

Also die Ableitung bei mir lautet:

$\begin{eqnarray*} M=1*1/(2\sqrt{r²} ) \end{eqnarray*}$

Und wenn ich jetzt nach r auflöse ist das r=0,5

Bitte sag das es stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.02.2012, 14:24

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das stimmt leider nicht. Du wirst für r auch keinen absoluten Wert herausbekommen sondern einen Ausdruck mit R.

Zum Ableiten musst du die Produkt- und die Kettenregel anwenden.

smile

smile

12.02.2012, 14:34

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre ja zu schön gewesen traurig

traurig

Also irgendwie kapier ich nicht wie ich beide Regeln hier anwenden kann ich kann die PRoduktregel anwenden hab dann $\begin{eqnarray*} M=1*\sqrt{R²-r²}+4\pi r*1/(2\sqrt{R²-r²}) \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 14:38

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} M=\color{red} 1\color{black}*\sqrt{R²-r²}+4\pi r*1/(2\sqrt{R²-r²}) \end{eqnarray*}$

Die 1 ist nicht richtig und die innere Ableitung der Wurzel fehlt beim zweiten Summanden.

smile

smile

12.02.2012, 14:55

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} M=4\pi *\sqrt{R²-r²}+4\pi r*1/(2\sqrt{R²-r²})-2r \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 15:02

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von thilo86
$\begin{eqnarray*} M=4\pi *\sqrt{R²-r²}+4\pi r*1/(2\sqrt{R²-r²})-2r \end{eqnarray*}$

Die innere Ableitung sollte besser in Klammer gesetzt werden, da sie multipliziert werden muss. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da wir jetzt ein Kuddelmuddel mit Zähler und Nenner haben, schreibe ich den zweiten Summanden mal als ordentlichen Bruch auf:
$\begin{eqnarray*} M=4\pi *\sqrt{R²-r²}+ \frac{4\pi r\cdot(- 2r) }{2\sqrt{R²-r²}} \end{eqnarray*}$

Kannst du vereinfachen?

smile

smile

12.02.2012, 15:13

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

Also zuallererst hätte ich die 2 vor der Wurzel mit der 4 gekürzt also so: $\begin{eqnarray*} M=4\pi \sqrt{R²-r²}+\frac{2\pi r*(-2r)}{\sqrt{R²-r²} } \end{eqnarray*}$ Nun weiß ich nicht ob ich die -2 und die $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ zusammenfassen darf... ansonsten komm ich nicht weiter unglücklich

unglücklich

12.02.2012, 15:22

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, den Zähler solltest du unbedingt noch zusammenfassen. Freude

Freude

Anschließend setzt du diesen Ausdruck = 0 und bringst einen Summanden auf die andere Seite der Gleichung.

smile

smile

12.02.2012, 15:30

thilo86

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} -4\pi *\sqrt{R²-r²}=\frac{-4\pi r}{\sqrt{R²-r²} } \end{eqnarray*}$ als nächstes zieh ich den nenner rüber

$\begin{eqnarray*} -4\pi *\sqrt{R²-r²}*\sqrt{R²-r²}=-4\pi r \end{eqnarray*}$ dann teile ich durch $\begin{eqnarray*} -4\pi \end{eqnarray*}$ und erhalte

$\begin{eqnarray*} \sqrt{R²-r²}*\sqrt{R²-r²}=r \end{eqnarray*}$ so und jetzt stock ich mal wieder

123 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »