Vollständige Induktion

12.02.2012, 00:54	Tomatensalat	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Hallo, habe mir jetzt schon gefühlte tausend Videos dazu angeschaut, aber trotzdem bekomme ich es nicht gebacken, die vollständige Induktion selbst durchzuführen. Gegeben sei folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n (2i-1)² = \frac{n(4n²-1)}{3} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Ich habe nun folgendes gemacht: 1. Induktionsanfang (i=1): linke Seite: (21-1)² = (2-1)² = 1² = 1 rechte Seite: $\begin{eqnarray} \frac{1(41²-1)}{3} = \frac{3}{3} = 1 \end{eqnarray}$ Da 1=1 wäre das schon einmal bewiesen. Bei Induktionsannahme und Induktionsschritt hapert es jetzt aber. Ich habe also zunächst (n+1) eingesetzt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n (2n-1)² + [2(n+1)-1]² = \frac{(n+1)(4[n+1]²-1)}{3} \end{eqnarray}$ Links steht dann: $\begin{eqnarray} \frac{n(4n²-1)}{3} + (2n+1)² = \frac{n(4n²-1) + 3(2n+1)²}{3} \end{eqnarray}$ Rechts bekomme ich es aber nicht richtig umgeformt (ich lasse der Einfachheit halber mal den Nenner weg, dann dauert es nicht so lang): (n+1)([4(n + 1)² - 1] = (n+1) [4(n² + 2n + 1) - 1] = (n+1)(4n² + 8n + 3) = 4n³ + 12n² + 11n + 3 Irgendwie weiß ich nicht, wie zur Hölle ich das jetzt umformen soll, damit eben rechts und links das gleiche steht. Wo hab ich was falsch gemacht bzw. wie mache ich es richtig?
12.02.2012, 01:37	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst nicht den einen Ausdruck in den Anderen umrechnen, es genügt zu zeigen, dass sie gleich sind. $\begin{eqnarray} \underbrace{S(n)+ a_{n+1}}_{=A} =\underbrace { S(n+1)}_{=B} \end{eqnarray}$ S(n) = Summenformel für n S(n+1) = Summenformel für n+1 a_{n+1} =Summenglied mit Index n+1 $\begin{eqnarray} \underbrace {\frac {n(4n^2-1)}{3}+[2(n+1)-1]^2}_{=A}=\underbrace {\frac {(n+1)(4(n+1)^2-1}{3}}_{=B} \end{eqnarray}$ wie gesagt A in B umrechnen oder B in A ist nicht notwendig. jetzt einfach A und B parallel so weit wie möglich in einfache Terme auflösen. ( Potenzen, klammern weg ...) Und dann die Gleicheit überprüfen.

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