Populationsberechnung

12.02.2012, 02:00

Anni82

Populationsberechnung

Hallo Ihr Lieben,
ich habe mal wieder ein Problem und komme einfach nicht weiter - Hier die Aufgabe:
Die Gesellschaft eines bestimmten Landes word in drei Schichten eingeteilt_
Oberschicht 10%, Mittelschicht 70%, Unterschicht 20% der Bevölkerung.
Zwischen den Schichten finden Auf-und Abstiegsprozesse statt, die jeweils für eine Zeitspanne von 10Jahren durch die Abbildung beschrieben werden können.
Hier der Versuch die Abbildung zu beschreiben:
Von O wechseln 10% nach M
Von O wechseln 3% nach U
Von M wechseln 10% nach O
Von M wechseln 12% nach U
Von U wechseln 1% nach O
Von U wechseln 15% nach M

a) Gib eine Übergangsmatrix an
b) Wie groß sind die jeweiligen Schichtanteile nach 10(20,30) Jahren?
c) gib eine Übergangsmatrix für die Veränderung der Schichtung nach 20Jahren an.
d) Bei welcher Anfangsverteilung der Schichten ergibt sich trotz der Auf und Absteigsprozesse keine gesamtgesellschaftliche Veränderung der Schichtung?

A-C habe ich schon berechnet aber bei d) weiss ich einfach nicht weiter....
Ich habe folge Matrix aus a)
0,87 0,1 0,01
0,1 0,78 0,15
0,03 0,12 0,84

und für d) habe ich gedacht M* $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{x} \end{eqnarray*}$

Daraus habe ich dann gemacht
0,87 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ +0,1 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ +0,01 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$
0,1 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ +0,78 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ +015 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$
0,03 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ +0,12 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ +0,89 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$

etwas vereinfacht dann das:

0,13 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ +0,1 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ +0,01 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ =0
0,1 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ -0,22 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ +0,15 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ =0
0,03 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ +0,12 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ -0,11 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ =0

aber ich muss ja noch die die Bedingung mitreinbringen das es am ende 100% sein müssen ... oder nicht?
also habe ich auch noch diese hier:
$\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ =1(für100%)

Mach ich jetzt einfach ein LGS mit 4 Zeilen? Das kommt beim rechnen irgendwie alles nicht hin und so langsam verzweifele ich hier .... *aaaaarrrrrhhhh*

Ich würd mich freuen wenn ihr mir helfen könnt!!!
Danke + LG Anni

12.02.2012, 03:23

Dopap

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deine Übergangsmatrix sieht meiner Meinung nach so aus:

a.)
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & .1 & 0.01 \\ 0.1 & 0 & 0.15 \\ 0.03 & 0.12 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Spaltenbeschriftung: O-M-U
Zeilen: O-M-U, die Übergänge einer Gruppe sind Spalten.
Da Übergänge innerhalb der Gruppe sinnlos sind ist die Diagonale Null
Startvektor $\begin{eqnarray*} \vec p_0= \begin{pmatrix} 0.1 \\ .7 \\ 0.20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b.) $\begin{eqnarray*} \vec p_{10}= A^{10}\cdot \vec p_0 \end{eqnarray*}$

c.) ?

d.) $\begin{eqnarray*} A\cdot \vec x =\vec x \quad \rm und \quad x_1+x_2+x_3=1 \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1-x_1-x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 05:19

Anni82

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Die Übergangsmatrix ist richtig - da habe ich die lösung schon zu bekommen ....
und die diagonale ist hier nicht 0 da es sich ja um die jeweils verbleibenden handelt...
aber mit d kann ich leider immer noch nichts anfangen - das sieht ja auch aus wie meine Idee (nur das ich die Matrix M genannt habe) aber ich versteh nicht wie ich das in eine praktische rechnung umwandeln kann ....

12.02.2012, 10:51

Bjoern1982

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Zitat:

0,87 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ +0,1 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ +0,01 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$
0,1 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ +0,78 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ +015 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$
0,03 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ +0,12 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ +0,89 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$

Hier stimmt rechts unten die 0,89 nicht, es muss 0,84 lauten.

Zitat:

0,13 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ +0,1 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ +0,01 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ =0
0,1 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ -0,22 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ +0,15 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ =0
0,03 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ +0,12 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ -0,11 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ =0

Beim Eintrag oben links fehlt eine Minuszeichen.

Die Bedingung x1+x2+x3=1 kannst du auch erst hinterher benutzen.

Löse allgemein mit dem Gaußverfahren, wie immer bei "stabilen Verteilungen" wird dann eine Nullzeile entstehen.

Ohne Rechenweg kann man da jedenfalls nicht mehr zu sagen.

12.02.2012, 13:15

Dopap

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sorry für die falsche Matrix, die Spaltensumme muss ja 1 ergeben.
War wohl doch schon zu spät Schläfer

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