Unklarheiten bei L'Hopitalscher Regel

12.02.2012, 10:59	Michael Z.	Auf diesen Beitrag antworten »
Unklarheiten bei L'Hopitalscher Regel Hallo, ich rechne gerade ein paar Aufgaben um den Satz von L'Hopital besser zu verstehen/zu üben. Dabei bin ich auf zwei Aufgaben gestoßen, bei denen mir die Musterloesung nicht ganz klar ist: Aufgabe 1 Grenzwert von $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow 0} x^{x} \end{eqnarray}$ berechnen. Okay, zunächst kann man folgende Umformung vornehmen: $\begin{eqnarray} x^{x} = \exp{x \cdot \ln{x}} \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} f(x) := \ln{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x) := \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ habe ich dann einen Ausdruck der Form: $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow 0} x^{x} = lim_{x\rightarrow 0} (\exp{x \cdot \ln{x}}) = \exp{(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f}{g})} \end{eqnarray}$ . Nun muss ich ja schauen, ob die Grenzwerte von $\begin{eqnarray} \lim_{x \rightarrow 0} f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow 0} g(x) \end{eqnarray}$ übereinstimmen. Das tun sie aber meiner Meinung nach nicht denn: $\begin{eqnarray} \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = \infty \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = -\infty \end{eqnarray}$ Somit kann ich den Satz von L'Hoptial eigentlich nicht anwenden, oder? (In der Musterloesung zu dieser Aufgabe wird er aber einfach angewendet.) Was uebersehe ich oder ist die Loesung falsch? Aufgabe 2 Grenzwert von $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\log{(1+\exp{(2x^2)})}}{x^2} \end{eqnarray}$ berechnen. Nach Anwendung von L'Hoptial steht irgendwann dort: $\begin{eqnarray} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \dots = \lim_{x \rightarrow \infty} 2 \frac{\exp{(2x^2)}}{1+\exp{(2x^2)}} = 2 \end{eqnarray}$ . Mir ist das Ergebnis (letzter Schritt) unklar. Es steht dort docheigentlich $\begin{eqnarray} 2\frac{\infty}{1+\infty} \end{eqnarray}$ , oder nicht? Warum ergibt das 2? Vielen Dank! Beste Gruesse, Michael.
12.02.2012, 11:11	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unklarheiten bei L'Hopitalscher Regel Zu 1) Das macht keine Problem, du kannst ja auch $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} = - \lim_{x \to 0} \frac{-\ln(x)}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ schreiben, wenn dir dann wohler ist. Zu 2) Klammere da mal im Zähler und im Nenner exp(2x²) aus und kürze.
12.02.2012, 11:15	original	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unklarheiten bei L'Hopitalscher Regel Tipp zu Aufgabe 2: vielleicht solltest du mal noch über sowas Ähnliches nachenken: $\begin{eqnarray} \frac{e^{x} }{1+e^{x} } = \frac{1}{\frac{1}{e^{x} } +1} \end{eqnarray}$ na ja .. (ungekürzt) ist schneller wiedermal schneller .. sorry.
13.02.2012, 07:58	Michael Z.	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt ist es mir klarer.

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