Logarithmen ohne Taschenrechner lösen

12.02.2012, 16:07

Tipso

Logarithmen ohne Taschenrechner lösen

Hi,

Ich tu mich mit dem Lösungsweg und wie man auf den Lösungsweg kommt schwer.
Hier insgesamt 16 Beispiele: ( Lösungen habe ich schon, es geht um den Lösungsweg und darum diesen zu verstehen, nachvollziehen )

LG

$\begin{eqnarray*} 3 Log (1/27) = 3 Log \sqrt{3} = 3 Log 3x\sqrt{3} = ( soll heißen die 3 Wurzel aus 3.) 3 Log 1/(4x\sqrt{27} ) \end{eqnarray*}$

hier die ersten Vier.

lg

12.02.2012, 16:12

Iorek

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Wende Potenz- und Logarithmengesetze an. So ist etwa $\begin{eqnarray*} \frac 1{27}=\frac 1{3^3}=3^{-3} \end{eqnarray*}$ , was bei der ersten Aufgabe sehr hilfreich ist. Die anderen verlaufen ähnlich.

12.02.2012, 16:13

Equester

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Wenn du sagst: 3Log, meinst du dann 3*log oder $\begin{eqnarray*} log_3 \end{eqnarray*}$ ?

Man nutzt übrigens Kleinbuchstaben. Sonst ergibt das eine andere Bedeutung.

Die Logarithmengesetze sind hier sehr hilfreich Augenzwinkern

12.02.2012, 16:16

Tipso

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Zitat:

Original von Equester
Wenn du sagst: 3Log, meinst du dann 3*log oder $\begin{eqnarray*} log_3 \end{eqnarray*}$ ?

Man nutzt übrigens Kleinbuchstaben. Sonst ergibt das eine andere Bedeutung.

Die Logarithmengesetze sind hier sehr hilfreich Augenzwinkern

Ich meine natürlich: $\begin{eqnarray*} log_3 \end{eqnarray*}$ smile

12.02.2012, 16:52

Tipso

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$\begin{eqnarray*} 3 log \sqrt{3} = 3^x = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

3^0.5
Ich verstehe jedoch nicht warum ... Ich komm nicht dahinter.

3 log $\begin{eqnarray*} 3x\sqrt{3} = 3^x= 3x\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

3^(1/3)

Wieder das gleiche, ich verstehe nicht warum, wie, woher das kommt.

lg

12.02.2012, 16:55

Iorek

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Ich verstehe gerade nicht, was du da machen willst.

$\begin{eqnarray*} \log_3(\sqrt 3) \end{eqnarray*}$ , wende auf $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ ein Potenzgesetz an, danach lässt sich ein Logarithmusgesetz anwenden und die Aufgabe sehr einfach lösen.

12.02.2012, 16:59

Tipso

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Zitat:

Original von Iorek
Ich verstehe gerade nicht, was du da machen willst.

$\begin{eqnarray*} \log_3(\sqrt 3) \end{eqnarray*}$ , wende auf $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ ein Potenzgesetz an, danach lässt sich ein Logarithmusgesetz anwenden und die Aufgabe sehr einfach lösen.

hmm,

Welches Potenzgesetz ?

traurig

12.02.2012, 17:01

Iorek

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Es gibt nur wenige Potenzgesetze, die Wurzelausdrücke betreffen, du hast es oben sogar schon hingeschrieben.

12.02.2012, 19:43

Tipso

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Zitat:

Original von Iorek
Es gibt nur wenige Potenzgesetze, die Wurzelausdrücke betreffen, du hast es oben sogar schon hingeschrieben.

ich versteh sie nur nicht, es ist auswendig gelernt ..

12.02.2012, 20:58

Tipso

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$\begin{eqnarray*} 1. 3 log \sqrt{3} = 3^ {1/2} 2. 3 log 3x\sqrt{3} = 3^ {1/3} 3. 3 log 1/(4x\sqrt{27} )=3 \end{eqnarray*}$

Beim 3 tu ich mich schwer.

12.02.2012, 21:49

Iorek

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Warum sollten denn diese Ausdrücke jeweils gleich sein? verwirrt

Nehmen wir uns mal die erste vor: $\begin{eqnarray*} \log_3(\sqrt 3) \end{eqnarray*}$

Es gibt nun ein nettes Potenzgesetz, welches es dir erlaubt die Wurzel umzuschreiben: $\begin{eqnarray*} \sqrt 3=3^{\frac 12} \end{eqnarray*}$ , wenn wir das anwenden erhalten wir: $\begin{eqnarray*} \log_3(\sqrt 3)=\log_3(3^{\frac 12}) \end{eqnarray*}$ . Nun solltest du ein Logarithmusgesetz erkennen und anwenden können.

12.02.2012, 21:55

Tipso

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Zitat:

Original von Iorek
Warum sollten denn diese Ausdrücke jeweils gleich sein? verwirrt

Warum noch ein Logarithmusgesetz anwenden ?
Das Ergebnis ist ja schon 3^(1/2)

Ich verstehe es an den anderen Bsp. nicht, da es kompliziert wird.

Zb.

$\begin{eqnarray*} 3x\sqrt{3} = 3^{1/3} \sqrt{3} = 3^{1/2} \end{eqnarray*}$

warum ist das so ?

12.02.2012, 21:56

Iorek

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Das Ergebnis ist bestimmt nicht $\begin{eqnarray*} 3^{\frac 12} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

12.02.2012, 22:01

Tipso

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Zitat:

Original von Iorek
Das Ergebnis ist bestimmt nicht $\begin{eqnarray*} 3^{\frac 12} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Nein, ich meinte das Ergebnis des Logarithmuses der dazugehörigen Rechnung.

12.02.2012, 22:03

Iorek

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Das lässt sich ja aber trotzdem noch vereinfachen und (ohne Taschenrechner) ausrechnen. Und dazu braucht es eben ein Logarithmusgesetz (das einem den Exponenten entfernt).

12.02.2012, 22:08

Tipso

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hier nochmal die ersten 4 Aufgaben, ich poste gleich den Rechenweg, nach dem ich mich nach den Log. Gesetzten umgesehen habe.

$\begin{eqnarray*} 3 log (1/27) 3 log \sqrt{3} = 3^ {1/2} 3 log 3x\sqrt{3} = 3^ {1/3} 3 log 1/(4x\sqrt{27} )=3 \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 22:15

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \log_3(\sqrt 3)=\log_3(3^{\frac 12}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3} *log3 = (3^{\frac 12}) * log3 \end{eqnarray*}$

x)

Wie gehts weiter hmm

Ich verwende dabei den Logarithmusgesetz der Potenz an.

12.02.2012, 22:19

Iorek

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Was soll die zweite Zeile bedeuten? verwirrt

Schlage bitte einmal die Logarithmengesetze nach, dort sollte eine Möglichkeit drunter sein $\begin{eqnarray*} \log_a(b^c) \end{eqnarray*}$ umzuformen. Diese Gesetz brauchen wir hier.

12.02.2012, 22:26

Tipso

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Ich setze dabei dieses Gesetz um: ln (x^a) = a ln(x)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3} *log3 = ({1/2}) * log3 *3 \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 22:26

Iorek

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So, und wie sieht das aus, wenn wir das jetzt auf $\begin{eqnarray*} \log_3(3^{\frac 12}) \end{eqnarray*}$ anwenden?

12.02.2012, 22:30

Tipso

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Zitat:

Original von Tipso
Ich setze dabei dieses Gesetz um: ln (x^a) = a ln(x)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3} *log3 = ({1/2}) * log3 *3 \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 22:34

Iorek

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Wo kommt denn das $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ auf einmal vor $\begin{eqnarray*} \log_3 \end{eqnarray*}$ ? Das ist Quatsch und so lautet auch nicht das Logarithmusgesetz, welches du anwenden sollst.

Desweiteren solltest du die tiefgestellten Zahlen auch tiefgestellt schreiben.

Damit wir aber zumindest die erste Aufgabe endlich mal abhaken können:

$\begin{eqnarray*} \log_3(\sqrt 3)=\log_3(3^{\frac 12}) \end{eqnarray*}$ , jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz an, $\begin{eqnarray*} \log_3(3^{\frac 12})=\frac 12\cdot\log_3(3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \log_3(3) \end{eqnarray*}$ lässt sich einfach ausrechnen, $\begin{eqnarray*} \log_3(3)=1 \end{eqnarray*}$ , also ist insgesamt $\begin{eqnarray*} \log_3(\sqrt 3)=\frac 12\cdot 1 = \frac 12 \end{eqnarray*}$ .

12.02.2012, 22:35

Tipso

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Zitat:

Original von Iorek
Wo kommt denn das $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ auf einmal vor $\begin{eqnarray*} \log_3 \end{eqnarray*}$ ? Das ist Quatsch und so lautet auch nicht das Logarithmusgesetz, welches du anwenden sollst.

Desweiteren solltest du die tiefgestellten Zahlen auch tiefgestellt schreiben.

Damit wir aber zumindest die erste Aufgabe endlich mal abhaken können:

$\begin{eqnarray*} \log_3(\sqrt 3)=\log_3(3^{\frac 12}) \end{eqnarray*}$ , jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz an, $\begin{eqnarray*} \log_3(3^{\frac 12})=\frac 12\cdot\log_3(3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \log_3(3) \end{eqnarray*}$ lässt sich einfach ausrechnen, $\begin{eqnarray*} \log_3(3)=1 \end{eqnarray*}$ , also ist insgesamt $\begin{eqnarray*} \log_3(\sqrt 3)=\frac 12\cdot 1 = \frac 12 \end{eqnarray*}$ .

ich mache die nächsten 3.

12.02.2012, 22:54

Tipso

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ln (a/b) = ln(a) - ln(b)

3 log (1/27)

3 log (1/27) = log (1/27)

log (1/ 27 ) = Log ( 1 ) - log ( 27 )

12.02.2012, 22:56

Iorek

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Zuerst: du meinst wohl $\begin{eqnarray*} \log_3(\frac 1{27}) \end{eqnarray*}$ , wo fällt die 3 bei denen Umformungen hin?

Ansonsten ist das bisher in Ordnung, $\begin{eqnarray*} \log_3(1) \end{eqnarray*}$ lässt sich direkt ausrechnen, mit dem Wissen über $\begin{eqnarray*} 27=3^3 \end{eqnarray*}$ lässt sich dann im weiteren Vorgehen wieder das Logarithmusgesetz von eben anwenden.

12.02.2012, 23:02

Tipso

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Zitat:

Original von Iorek
Zuerst: du meinst wohl $\begin{eqnarray*} \log_3(\frac 1{27}) \end{eqnarray*}$ , wo fällt die 3 bei denen Umformungen hin?

Ansonsten ist das bisher in Ordnung, $\begin{eqnarray*} \log_3(1) \end{eqnarray*}$ lässt sich direkt ausrechnen, mit dem Wissen über $\begin{eqnarray*} 27=3^3 \end{eqnarray*}$ lässt sich dann im weiteren Vorgehen wieder das Logarithmusgesetz von eben anwenden.

$\begin{eqnarray*} \log_3(\frac 1{27}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \log_3(\frac 1{3^3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log_3(\frac 1{27}) \end{eqnarray*}$ = Log ( 1 ) - log ( 27 )

$\begin{eqnarray*} \log_3(\frac 1{27}) \end{eqnarray*}$ = log3* (26)

12.02.2012, 23:09

Iorek

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Was soll denn die letzte Zeile bedeuten? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \log_3(\frac 1{27})=\log_3(1)-\log_3(27)=\log_3(1)-\log(3^3) \end{eqnarray*}$ , jetzt kommst du wieder mit den Logarithmusgesetzen weiter.

12.02.2012, 23:13

Tipso

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Zitat:

Original von Iorek
Was soll denn die letzte Zeile bedeuten? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \log_3(\frac 1{27})=\log_3(1)-\log_3(27)=\log_3(1)-\log(3^3) \end{eqnarray*}$ , jetzt kommst du wieder mit den Logarithmusgesetzen weiter.

$\begin{eqnarray*} \log_3(\frac 1{27})=\log_3(1)-\log_3(27)=\log_3(1)-\log(3^3) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \log_3(1)-3*\log(3) \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------------------------------------

Warum ist ?
$\begin{eqnarray*} \log_3(3) \end{eqnarray*}$ =1?

weil 3^1 = 3?!?

12.02.2012, 23:14

Iorek

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Und jetzt weiter ausrechnen.

12.02.2012, 23:17

Tipso

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= $\begin{eqnarray*} \log_3(1)-3*\log(3) \end{eqnarray*}$

ich weiß lieder nicht so genau wie ich hier weiterrechnen soll ?!

$\begin{eqnarray*} \log_3(1) \end{eqnarray*}$ = 0

12.02.2012, 23:19

Iorek

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Na, $\begin{eqnarray*} \log_3(3) \end{eqnarray*}$ solltest du auch noch hinbekommen (steht auch schon weiter oben in diesem Thread).

12.02.2012, 23:24

Tipso

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Zitat:

Original von Iorek
Na, $\begin{eqnarray*} \log_3(3) \end{eqnarray*}$ solltest du auch noch hinbekommen (steht auch schon weiter oben in diesem Thread).

Wenn die Zahlen etwas schwerer bzw. komplizierter sind ist dies ja nicht möglich oder ?

3^1= 3

12.02.2012, 23:28

Tipso

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Zitat:

Original von Tipso

Zitat:

Original von Tipso
= $\begin{eqnarray*} \log_3(1)-3*\log(3) \end{eqnarray*}$

ich weiß lieder nicht so genau wie ich hier weiterrechnen soll ?!

$\begin{eqnarray*} \log_3(1) \end{eqnarray*}$ = 0

$\begin{eqnarray*} -3*\log(3) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \log(3^{1/3}) \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 23:34

Iorek

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Nein.

Wo sind die Zahlen denn hier komplizierter? $\begin{eqnarray*} \log_3(3) \end{eqnarray*}$ habe ich dir oben um 22:34 schon vorgerechnet und aufgeschrieben. Allgemein sollte man auch $\begin{eqnarray*} \log_a(a) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a>0, a\neq 1 \end{eqnarray*}$ sofort ausrechnen können, selbiges gilt für $\begin{eqnarray*} \log_a(1) \end{eqnarray*}$ .

12.02.2012, 23:36

Trak92

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tut mir leid wenn ich mich ungefragt eimische, aber ich wollte gerne was anmerken:

es gilt fast immer (bei einem logarithmus zur Basis 1 müsste man nachdenken):

$\begin{eqnarray*} \log_{a}a=1 \log_{a}a^{b}=b\log_{a}a \Rightarrow \log_{a}a^{b}=b \end{eqnarray*}$

damit lassen sich die Aufgaben etwas effizienter lösen als wenn man jeden bruch zerlegt..

12.02.2012, 23:39

Iorek

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@Trak92, zuerst muss das Argument des Logarithmus auf diese Form gebracht werden, damit man das direkt einsehen kann. Die Aussagen von dir wurden in diesem Thread auch schon genannt.

12.02.2012, 23:42

Trak92

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@Iorek

ich hab mir nur angeschaut gehabt, wie kompliziert das log zur basis 3 von (1/27) gerechnet wurde, deshalb wollte ich nur nochmal explizit sagen, dass man nicht unbedingt den bruch zerlegen muss...

12.02.2012, 23:43

Tipso

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Zitat:

Original von Iorek
Nein. unglücklich

Ich verstehe das nicht.

$\begin{eqnarray*} \log_3(3) \end{eqnarray*}$ = 1 - Warum ?

12.02.2012, 23:49

Tipso

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Ergebnis wäre ja dann: -3*1= (1/3)

jedoch verstehe ich nicht warum:

$\begin{eqnarray*} \log_3(3) \end{eqnarray*}$ = 1

$\begin{eqnarray*} \log_a(1) \end{eqnarray*}$ = 0

ich vermute, da x^1=x und für Bsp. 2 x^0=1.

12.02.2012, 23:56

Iorek

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Seit wann ist denn $\begin{eqnarray*} -3\cdot 1=\frac 13 \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

Die Erklärung für $\begin{eqnarray*} \log_3(3)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \log_3(1)=0 \end{eqnarray*}$ ist korrekt und lässt sich ansonsten auch leicht über die Definition des Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zeigen.

@Trak,
ob man jetzt $\begin{eqnarray*} \log_3(\frac 1{27})=\log_3(\frac 1{3^3})=\log_33^{-3}) \end{eqnarray*}$ erkennt, oder zuerst das andere Logarithmusgesetz anwendet und den Bruch auseinanderzieht macht eigentlich keinen großen Unterschied. Kompliziert würde ich keinen der beiden Wege nennen.

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