Gleichung mit e-Funktionen lösen

12.02.2012, 17:50

SaPass

Gleichung mit e-Funktionen lösen

Hallo,

ich habe ein (kleines) Problem mit der statistischen Thermodynamik. Da es sich jedoch nur um ein mathematisches Problem handelt, poste ich meine Frage einfach mal hier. Ich muss einfach folgende Gleichung nach x umstellen und lösen. T habe ich gegeben, T=841,6K. Ergebnis: x = 810K. Nur wie komme ich da drauf?
$\begin{eqnarray*} 1=\frac{e^{\frac{-x}{2T}}}{1-e^{\frac{-x}{T}}} \end{eqnarray*}$
Ich schaffe es nicht die Gleichung so weit umzuformen, dass ich den ln anwenden kann.
Nach etwas umformen komme ich dann hier an:
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{2T}}-e^{\frac{-x}{2T}}=1 \end{eqnarray*}$
Das hilft mir aber auch nicht wirklich weiter.
Ich kann gerne noch weiter eigene Ideen posten, aber die führen mich alle nicht zum Ziel.

Es wäre toll, wenn mir jemand kurz helfen könnte.

MfG SaPass

12.02.2012, 20:16

original

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RE: Gleichung mit e-Funktionen lösen

Zitat:

Original von SaPass
..
komme ich dann hier an:
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{2T}}-e^{\frac{-x}{2T}}=1 \end{eqnarray*}$
Das hilft mir aber auch nicht wirklich weiter.

möglicherweise hilft dir sowas weiter ? ->
es ist
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \left(e^{x} - e^{-x} \right) = sinh (x) \end{eqnarray*}$
usw..
siehe hyperbolische und Area-Funktionen
.

12.02.2012, 20:27

SaPass

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RE: Gleichung mit e-Funktionen lösen
Danke, ich habs Freude

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{x}{2T}}-e^{\frac{-x}{2T}}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,5 \cdot e^{\frac{x}{2T}}-e^{\frac{-x}{2T}}=0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sinh(\frac{x}{2T}) = 0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2T\cdot arsinh(0,5) = x =810K \end{eqnarray*}$

12.02.2012, 20:46

SaPass

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RE: Gleichung mit e-Funktionen lösen
Der Vollständigkeit halber: Ein einfacherer Lösungsweg für all die, die den sinh nicht direkt erkennen:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{-x}{2T}} = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{a}{1-a^2} \end{eqnarray*}$

Dann muss man einfach eine quadratische Gleichung lösen.

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