Konstante einer W-Dichte bestimmen - Bitte kontrollieren

12.02.2012, 18:22

Tharion

Konstante einer W-Dichte bestimmen - Bitte kontrollieren

Ich habe hier eine Aufgabe gerechnet und bräuchte mal jemanden, der mir sagt, richtig oder falsch und vielleicht einen kleinen Tipp gibt.

Gegeben ist die W-Dichte p mit der konstanten c
$\begin{eqnarray*} p(x)= c*x^{-3},& x > 1 \text{und} p(x)= 0, & x \leq 1 \end{eqnarray*}$

nun soll ich die Konstante so wählen, das daraus eine Dichte wird.
Nun hab ich das ganze erstmal ins Integral eingesetzt.
$\begin{eqnarray*} c* \ \int_1^\infty \! x^{-3} \, dx = c*[0 - -\frac{1}{2}*\frac{1}{1^2}]=\frac{c}{2} \end{eqnarray*}$

also muss $\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$ gelten, damit $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ eine W-Dichte wird, also $\begin{eqnarray*} p(x)=1 \end{eqnarray*}$ gilt.

richtig?

und wenn ich daraus jetzt die W-Funktion bestimmen will brauch ich doch nur das unbestimmte Integral der W-Dichte zu berechnen, oder? Denn wenn ich die Grenzen einsetz kommt ja logischerweise 1 raus, aufgrund der Normierung, denn da berechne ich ja die Wahrscheinlichkeit das eine Zahl in diesem Intervall landet

vielen, vielen Dank für eure Mühe das zu lesen. ^___^

12.02.2012, 18:54

Math1986

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RE: Konstante einer W-Dichte bestimmen - Bitte kontrollieren
Ja, bisher ist alles richtig Freude

13.02.2012, 17:36

Tharion

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Danke für dein Eingreifen, Math1986 Mit Zunge

Also muss ich nun nur noch

$\begin{eqnarray*} F(x) \, = \, \int_{-\infty}^1 \! p(x) \, dx \, = \, \int_{-\infty}^1 \! \frac{2}{x^3} \, dx \end{eqnarray*}$

rechnen um an die Verteilungsfunktion zu kommen?

13.02.2012, 17:40

Math1986

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Wie kommst du auf diese Integrationsgrenzen?
In diesem Bereich ist die Funktion null, somit ist dort auch das Integral Null. unglücklich

13.02.2012, 18:07

Tharion

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aaah, ja. Stimmt ja

Doch für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt ja folgendes.

$\begin{eqnarray*} F(t)=\int_{-\infty}^x \! p(t) \, dt \end{eqnarray*}$

Also muss ich für das x nichts einsetzen sondern einfach danach integrieren?

13.02.2012, 18:22

Tharion

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Also muss ich es so machen, oder?

$\begin{eqnarray*} F(t)= \int_{1}^{x} 1_{(1,\infty)}(t) \frac{2}{t^3}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(t)=[-\frac{1}{t^2}]_{1}^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=-\frac{1}{x^2}+1 \end{eqnarray*}$

13.02.2012, 18:29

Math1986

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Zitat:

Original von Tharion
Also muss ich es so machen, oder?

$\begin{eqnarray*} F(t)= \int_{1}^{x} 1_{(1,\infty)}(t) \frac{2}{t^3}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(t)=[-\frac{1}{t^2}]_{1}^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=-\frac{1}{x^2}+1 \end{eqnarray*}$

Fast:
$\begin{eqnarray*} F(x)= \int_1^x\frac{2}{t^3}dt \end{eqnarray*}$
(die Funktionsvariable stimmte nicht)

Es ist natürlich auch $\begin{eqnarray*} F(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$ , das sollte zumindest ordentlich definiert werden.

13.02.2012, 22:50

Tharion

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Eine Funktionsvariable darf auch Integrationsgrenze sein? Das ist echt komisch.

LOL Hammer

13.02.2012, 23:08

Math1986

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Zitat:

Original von Tharion
Eine Funktionsvariable darf auch Integrationsgrenze sein? Das ist echt komisch.

Was ist daran so komisch? verwirrt

Genauso ist die Verteilungsfunktion doch definiert, das ist da doch immer so.
Daher irritiert es mich auch, dass du sowas heute anscheinend zum ersten Mal siehst

14.02.2012, 08:48

Tharion

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Vielen Dank für deine Hilfe, Math1986.

Aber wo ist der Unterschied zwischen Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsfunktion?
Ist es so richtig?

Verteilungsfunktion: Beschreibt die verschiedenen Verteilungen einer Zufallsvariable

Wahrscheinlichkeitsfunktion: Beschreibt die Auftrittwahrscheinlichkeit der einzelnen Ereignisse.

14.02.2012, 12:10

Math1986

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Der Begriff "Wahrscheinlichkeitsfunktion" ist nicht einheitlich definiert unglücklich

Das, was du da beschreibst, ist keine mathematisch exakte Definition, da kann man sich vieles drunter vorstellen.
Es gibt einmal die Verteilungsfunktion, diese ist auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} F(x)=P\left(X\leq x\right) \end{eqnarray*}$
Wenn dein X nun eine Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ hat, dann ergibt sich darauf die Formel von oben, wo x die obere Integrationsgrenze ist.
$\begin{eqnarray*} P\left(X\leq x\right)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt \end{eqnarray*}$

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