Tangens

17.01.2007, 16:16

KathrinB

Tangens

Hallo.

Für welche x aus dem Definitionsbereich des Tangens gilt die Ungleichung:

tan(x) > x

Sieht leicht aus, aber wie löse ich die Ungleichung auf?

17.01.2007, 16:17

therisen

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Brauche Schema zum Aufgabentyp dürfte helfen Augenzwinkern

17.01.2007, 16:34

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Allerdings gibt es auch den Fall $\begin{eqnarray*} |x|>\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , oder soll der ausgeschlossen werden? Falls nicht, dann gibt es keine einfache Antwort, wie der Graph zeigt:

17.01.2007, 16:43

KathrinB

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also hier ist zu bestimmen:
für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} ({\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb Z} ) \end{eqnarray*}$ gilt die Ungleichung tan(x)>x

17.01.2007, 17:38

KathrinB

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Die Aufgabe ist sch***e! ...... für das Intervall $\begin{eqnarray*} ]-\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2}[ \end{eqnarray*}$ bekomm ich es ja hin, aber allgemein für alle x, für die der tangens definiert ist ...... das schaff ich nicht unglücklich

Wäre sehr dankbar, wenn ihr mir da helfen könntet.

17.01.2007, 18:06

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Tja, dann liegt tatsächlich das schwierigere Problem vor: In dem Fall solltest du dir statt der Ungleichung zunächst die zugehörige Gleichung $\begin{eqnarray*} \tan(x)=x \end{eqnarray*}$ ansehen. Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\tan(x)-x \end{eqnarray*}$ .

In jedem der durchgängigen Definitionsintervalle $\begin{eqnarray*} I_k:=\left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right) \end{eqnarray*}$ (also jeweils zwischen den Polstellen der Tangensfunktion) gibt es nun jeweils genau eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , nennen wir sie erstmal $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ , dabei durchläuft $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die ganzen Zahlen. Existenz und Eindeutigkeit in $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ sind natürlich noch etwas näher zu begründen!

$\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist klar, für $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ kann man die Werte $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ jedoch nur numerisch ermitteln. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine ungerade Funktion ist, weiß man zumindest noch $\begin{eqnarray*} x_{-k} = -x_k \end{eqnarray*}$ , also kann man sich bei der numerischen Berechnung auf die positiven Indizes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ konzentrieren.

Mit Hilfe der Nullstellen ergibt sich dann letztlich auch die Lösungsmenge der Ungleichung, wenn man die strenge Monotonie von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf jedem der Intervalle $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ hinzuzieht.

17.01.2007, 18:33

KathrinB

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Zitat:

Original von Arthur Dent

$\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist klar, für $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ kann man die Werte $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ jedoch nur numerisch ermitteln. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine ungerade Funktion ist, weiß man zumindest noch $\begin{eqnarray*} x_{-k} = -x_k \end{eqnarray*}$ , also kann man sich bei der numerischen Berechnung auf die positiven Indizes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ konzentrieren.

Und wie ermittelt man diese Werte numerisch? Die Aufgabe ist aus der Analysis1-Vorlesung .... weiß nicht so recht wie ich das machen soll.
(Wenn die Erklärung sehr aufwendig ist, musst du dir nicht die Mühe machen das hier alles hinzuschreiben, dann lass ich die Aufgabe auf dem Übungszettel eben weg. smile

)

Danke dir sehr für deine bisherigen Erklärungen. smile

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