Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen

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klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen
Meine Frage:
Hallo, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe...



Meine Ideen:
Also zuerst aus multipliziert und dann in die pq-Formel eingesetzt kommt das raus...





Ich weiß nicht aber irgendwie sieht das falsch aus...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen
Das sieht nicht nur falsch aus, das ist auch falsch. Was hat denn das x in der Formel zu suchen?
Überlege dir, was das p bzw. q sind.
original Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen
Zitat:
Original von klausi1732

<- möglicherweise kommt da noch irgendwo = 0 ... verwirrt

unglücklich

.. aber irgendwie sieht das falsch aus...


genau .. zB steht das gesuchte x ja noch in deiner "Lösung" herum..

Vorschlag:
versuch es mit quadratischer Ergänzung:



und löse dann zuerst die Gleichung

klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich das =0 fehlte. Ups

Nur verstehe ich leider nicht wie ich auf die Gleichungen komme die du verwendest?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen
Es ist . smile
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die erste verstehe ich jetzt, aber was ist bei der 2. das w?
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen
Man definiert . smile
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

soweit verstehe ich das, aber warum steht oben


...?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sind uns einig, daß ist?

Wenn man davon die Wurzel sucht, dann formt man das üblicherweise in die Exponentialform um. Die Darstellung ist dazu der 1. Schritt, da der Teil in der Klammer eine komplexe Zahl mit Länge 1 ist.
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also ich muss es so umformen damit ich eine imaginäre Zahl mit dem Betrag 1 erhalte... soweit verstehe ich es.

Nur verstehe ich nicht ganz wie ich das jetzt in Exponentialform bringen soll. Und überhaupt warum ich mit w^2 substituiere? Steh etwas aufm Schlauch.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen
Grundsätzlich benutzt man die pq-Formel wie üblich, nur das Rechnen ist umständlicher, weil p und q komplexe Zahlen sind, also hier:
p = 1 + i
q = -(2 - 2i)
Es folgt:

was zusammengefaßt ergibt

Der Ausdruck unter der Wurzel wird nun in die Exponentialform gebracht und dann hoch 1/2 genommen.
Hier:

mit

und

(Die 2 pi verdeutlichen, dass wir uns im 4. Quadranten befinden)
Das entstehende Ergebnis

setzt man in die trigonometrische Form ein, um wieder die Zahlenwerte der algebraischen Form auszurechnen:

Dann noch über +/- mit -(1+i)/2 aus der pq-Formel verbinden, nach Realteil und Imaginärteil sortieren und man hat 2 (komplexe) Lösungen in der algebraischen Form.
Zum Schluß ist eine Probe zu empfehlen, ob man richtig gerechnet hat, denn
(x - x01)*(x - x02) muß ja wieder die Anfangsgleichung ergeben.
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich nicht verstehe, warum wird der Ausdruck unter der Wurzel in Exponentialform gebracht? Das macht man ja sonst bei der pq-Formel auch nicht....
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen
Pardon, da ist mir ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen. Es muß natürlich heißen:

Genau deswegen: Probe machen ...


Zur letzten Frage:
Weil eine komplexe Zahl ja (i. d. R.) eine Summe ist (aus Re(z) und Im(z)) und man aus einer Summe nicht ohne weiteres die Wurzel ziehen kann. Bei reellen Koeffizienten kommt ja immer eine Zahl heraus. In der Exponentialform dagegen werden die Exponenten einfach multipliziert.
klausi1732 Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet also:

?

und wie komm ich auf den Wert von ?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen


Die arctan-Funktion liefert allerdings nur Werte zwischen -pi/2 und +pi/2. Daher entnimmt man der algebraischen Form, in welchem Quadranten sich die komplexe Zahl befindet.
Es gilt:
Komplexe Zahl im
- 1. Quadranten - Taschenrechnerergebnis ist korrekt
- 2. Quadranten - Taschenrechner liefert , tatsächlicher Winkel ist
- 3. Quadranten - Taschenrechner liefert , tatsächlicher Winkel ist
- 4. Quadranten - Taschenrechner liefert , tatsächlicher Winkel ist (Hauptwert zwischen 0 und 2 pi)
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