AWP in DGL-System erster Ordnung umschreiben

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13.02.2012, 12:24	Clamat	Auf diesen Beitrag antworten »
AWP in DGL-System erster Ordnung umschreiben Hallo zusammen, Ich versuche gerade ein AWP in ein DGL-System erster Ordnung umzuschreiben. $\begin{eqnarray} y''(x)=x\cdot y'(x)+y(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y(0)=1, y'(0)=0 \end{eqnarray}$ Ich habe nun folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} y_1=y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2=y' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_1'=y'=y_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2'=y''=x\cdot y'+y=x\cdot y_2+y_1 \end{eqnarray}$ DGl-System: $\begin{eqnarray} \vec{y} ' =f(x,\vec{y})=\begin{pmatrix} y_2 \\ x\cdot y_2+y_1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das müsste soweit stimmen, oder? Im zweiten Schritt der Aufgabe soll ich nun folgendes machen: Berechnen Sie für das ermittelte System mit dem Eulerverfahren die Näherungen $\begin{eqnarray} \vec{y_0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{y_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{y_2} \end{eqnarray}$ mit Schrittweite $\begin{eqnarray} h=0.1 \end{eqnarray}$ . In der Lösung wird folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} \vec{y_0} =\begin{pmatrix} y_1(0) \\ y_2(0) \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} y(0) \\ y'(0) \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht so ganz, warum das so gemacht wird und wäre über Hilfestellungen sehr dankbar. Viele Grüße, Benni
14.02.2012, 14:34	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP in DGL-System erster Ordnung umschreiben Hallo Clamat, Dein neues DGL-System ist korrekt, aber was ist mit dem Anfangswert? Den brauchen wir, das AWP lautet nach der Umformung $\begin{eqnarray} \vec{y} ' =f(x,\vec{y})=\begin{pmatrix} y_2 \\ x\cdot y_2+y_1 \\ \end{pmatrix},~\vec{y}(0) = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und was macht das Eulerverfahren? Es approximiert eine Kurve durch Polygonzüge. Den Anfangswert muss dieser Polygonzug aber treffen, die Anfangsbedingung muss erfüllt sein. OK?
14.02.2012, 14:50	Clamat	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Dass die Anfangsbedingung erfüllt sein muss, habe ich soweit verstanden. Verstehe ich es richtig, dass man $\begin{eqnarray} \vec{y}'=f(x,\vec{y}) \end{eqnarray}$ einmal integriert, dann die Anfangswerte einsetzt und so auf $\begin{eqnarray} \vec{y_0}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kommt?
14.02.2012, 14:54	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Da integriert man nichts. $\begin{eqnarray} \vec{y}_0 := \vec{y}(0) \end{eqnarray}$ wird festgesetzt.
14.02.2012, 15:08	Clamat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das ist verständlich! Mein Ansatz für $\begin{eqnarray} \vec{y_1} \end{eqnarray}$ wäre folgender: $\begin{eqnarray} \vec{y_1}=\vec{y_0} + h \cdot f(\vec{x_0},\vec{y_0}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{y_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}+ 0.1 \cdot \begin{pmatrix} y'(0) \\ x\cdot y'(0) + y(0) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? Wenn ja, was passiert mit dem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ? Oder ist es null, weil im Ursprung gestartet wird?
14.02.2012, 16:37	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du bei f $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ schreibst, dann mach das unten auch. Und ich würde auch lieber $\begin{eqnarray} y_1, y_2 \end{eqnarray}$ schreiben. Es stimmt alles. $\begin{eqnarray} x_0 = 0 \end{eqnarray}$ , das ist der Startzeitpunkt.
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14.02.2012, 19:23	Clamat	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, dann habe ich es jetzt verstanden. Eine Frage hätte ich allerdings noch. In der Aufgabe steht noch folgendes: Welche Näherung für $\begin{eqnarray} y(0.2) \end{eqnarray}$ liefert das Verfahren? $\begin{eqnarray} \vec{y_2}=\begin{pmatrix} 1.01 \\ 0.201 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Welchen Wert aus meinem Vektor muss ich da nehmen, und warum?
14.02.2012, 20:17	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, guck dir noch mal genau $\begin{eqnarray} \vec{y}_0 \end{eqnarray}$ an? In welchem Eintrag steht der Funktionswert, in welchem die erste Ableitung? Für $\begin{eqnarray} \vec{y}_2 \end{eqnarray}$ gilt das gleiche. Übrigens bekomme ich etwas anderes als du heraus. Was sind denn deine Zwischenergebnisse?
14.02.2012, 20:23	Clamat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, das ist ein guter Tipp. In der ersten Zeile steht der Funktionswert und in der zweiten die erste Ableitung. $\begin{eqnarray} \vec{y_0} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{y_1} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0.1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{y_2} =\begin{pmatrix} 1.01 \\ 0.201 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die gesuchte Näherung bei $\begin{eqnarray} y(0.2) \end{eqnarray}$ wäre also $\begin{eqnarray} 1.01 \end{eqnarray}$
14.02.2012, 20:30	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Und da habe ich meinen Fehler. Alles richtig bei dir.
14.02.2012, 20:33	Clamat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir vielmals für deine Hilfe! Ich werde nachher oder morgen nochmal eine Aufgabe von dem gleichen Typ rechnen. Wäre es ok, wenn ich die hier posten würde mit Ergebnsisen, sodass du kurz drüber schauen könntest?
14.02.2012, 20:34	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach mal. Ist ja vom gleichen Typ.
14.02.2012, 20:38	Clamat	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, ich danke dir!
15.02.2012, 23:39	Clamat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist nun die zweite Aufgabe. Die Aufgabenstellung ist exakt gleich mit der obigen. $\begin{eqnarray} y''(x)=2-4y(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y(0)=0, y'(0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h=0.1 \end{eqnarray}$ Meine Lösung: $\begin{eqnarray} \vec{y_0}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{y_1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0.2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{y_2}=\begin{pmatrix} 0.04 \\ 0.6 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Näherung für $\begin{eqnarray} y(0.2) \end{eqnarray}$ wäre dann $\begin{eqnarray} 0.04 \end{eqnarray}$ Passt das soweit oder ist mir ein Fehler unterlaufen?
16.02.2012, 09:33	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \vec{y}_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{y}_1 \end{eqnarray}$ sind gut Guck dit noch mal deine Rechnung für $\begin{eqnarray} \vec{y}_2 \end{eqnarray}$ an, ich vermute, du hast im hinteren Teil mit 0,2 multipliziert. Dort steht aber immer die Schrittweite, also hier 0,1.
16.02.2012, 12:17	Clamat	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist mir ein Fehler unterlaufen. Wie du schon sagtest, habe ich mit 0,2 multipliziert. Also bleibt die Schrittweite immer bei 0,1? $\begin{eqnarray} \vec{y_2}=\begin{pmatrix} 0.02 \\ 0.4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und somit wäre $\begin{eqnarray} y(0.2)=0.02 \end{eqnarray}$
16.02.2012, 12:29	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Jawohl! Die Schrittweite bleibt dort stehen, dass man einen Schritt weiter geht, ist durch die $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ berücksichtigt - diese spielen aber bei der zweiten DGL gar keine Rolle.
16.02.2012, 14:52	Clamat	Auf diesen Beitrag antworten »
Einen Zusatz hat die Aufgabe noch. Ich soll für die zweite DGL nachweisen, dass die exakte Lösung des AWP folgende ist: $\begin{eqnarray} y(x)=sin^2(x) \end{eqnarray}$ Wenn ich das zweimal ableite komme ich aber auf $\begin{eqnarray} y''(x)=2 \cdot cos(2x) \end{eqnarray}$ Kommen die Additionstheoreme da noch ins Spiel?

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