Eigenvektor zu doppeltem eigenwert |
| 13.02.2012, 12:56 | Schmuddl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Eigenvektor zu doppeltem eigenwert hallo, ich muss alle Eigenwerte und Eigenvektoren für die Matrix st mi berrechnen. Meine Ideen: Durch das charakteristiche Polynom bin ich auf die Eigenwerte : 1 und den doppelten Eigenwert 2 gekommen . Jetzt kommt mein hauptsächliches Problem. Wenn 2 ein doppelter Eigenwert ist, muss ich doch auch 2 Eigenvektoren dazu finden oder? Wenn ich nun aber 2 einsetze um den Eigenvektor zu berrechnen komme ich auf die Matrix : hier finde ich nun nur die Lösung (1,0,-1), aber da es ein doppelter Eigenwert ist müsste ich doch zwei linear unabhängige Lösungen finden. Wo liegt also der Fehler? Gibt es nicht immer k verschiedene Eigenvektoren für eine k fachen Eigenwert oder ist mir irgendwo ein rechen oder denkfehler unterlaufen? danke schonmal für die hilfe |
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| 13.02.2012, 13:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Eigenvektor zu doppeltem eigenwert
Der Denkfehler liegt genau an dieser Stelle. Zu einem k-fachen Eigenwert gibt es maximal k linear unabhängige Eigenvektoren. 
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| 13.02.2012, 15:51 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Eigenvektor zu doppeltem eigenwert
Da hast du dich verrechnet. Deine Matrix ist symmetrisch. Symmetrische Matritzen sind selbstadjungiert und die Eigenwerte haben somit nach dem Spektralsatz stets die Vielfachheit 1 und die Eigenvektoren bilden eine Orthonormalbasis. Somit kann 2 nicht ein doppelter Eigenwert sein. |
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| 13.02.2012, 16:07 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass Schmuddl sich hier verrechnet hat, stimmt. Ohne Rechnung kann man das aber nicht daran festmachen, dass er auf den doppelten Eigenwert 2 gekommen ist, sondern daran, dass er keine Basis aus Eigenvektoren gefunden hat. Da der Eigenraum zum Eigenwert 2 richtigerweise nur Dimension 1 hat, ist also 2 gar kein doppelter Eigenwert. Denn symmetrische Matrizen sind stets reell diagonalisierbar. Aber das heißt nicht, dass jeder Eigenwert nur Vielfachheit 1 hat. Z.b. hat die nxn-Einheitsmatrix den Eigenwert 1 mit Vielfachheit n. |
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| 13.02.2012, 16:33 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@tmo, da hast du recht. Ich hab da Ordnung und Vielfachheit vertauscht. Änderte aber zum Glück nichts daran, dass die 2 nur einfach vorkommt. |
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