Zerlegung von Vektoren in Senkrecht- & Parallelanteil

13.02.2012, 14:52	Prechti1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung von Vektoren in Senkrecht- & Parallelanteil Hallo Leute, folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} U = Lin( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ und der Vektor $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zerlegen sie v in eine Summe $\begin{eqnarray} v = v^{\perp}_U + v^{\|\|}_U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v^{\perp}_U = \begin{pmatrix} x^{\perp}_U \\ y^{\perp}_U \\ z^{\perp}_U\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v^{\|\|}_U = \begin{pmatrix} x^{\|\|}_U \\ y^{\|\|}_U \\ z^{\|\|}_U\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ideen: Ich habe zwar eine Formel in meinem Skript stehen die sich Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren nennt, aber ich komme damit überhaupt nicht klar :S bitte um hilfe!
13.02.2012, 15:30	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein ist die Komponente eines Vektors $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ in Richtung eines Einheitsvektors $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ gerade $\begin{eqnarray} \vec v_{\|\|}=(\vec v \vec n)\vec n \end{eqnarray}$ . Die senkrechte Komponente $\begin{eqnarray} \vec v_{\perp} \end{eqnarray}$ erhält man, wenn man von $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ die obige parallele Komponente abzieht, also $\begin{eqnarray} \vec v_{\perp}=\vec v-\vec v_{\|\|} \end{eqnarray}$ . In deinem Falle ist der Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ gerade der Einheitsvektor des Vektorproduktes der beiden gegebenen Basisvektoren, also $\begin{eqnarray} \vec n=\tfrac{\vec u_1 \times \vec u_2}{\|\vec u_1 \times \vec u_2\|} \end{eqnarray}$ .
13.02.2012, 15:37	Prechti1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke trotzdem Habs schon verstanden!

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