gegenseitige Lage Ebene und Kugel, Schnittkreis bestimmen

13.02.2012, 15:21

verwiirrtes

gegenseitige Lage Ebene und Kugel, Schnittkreis bestimmen

Meine Frage:
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebene E und der Kugel K. Bestimmen sie ggf. Radius und Mittelpunkt des Schnittkreises.

$\begin{eqnarray*} E: \left[x - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \right]_{}^{} * \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} K: \left[x - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right]_{}^{2} = 25<br /> \end{eqnarray*}$

daraus erhalte ich den Radius r=5 und den Mittelpunkt M(3/2/1)

und den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} <br /> \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
meine Idee:

erstmal die Lage überprüfen anhand von d(E;M). daraus folgt ca. 3,4 , was kleiner als der Radius r ist. Somit entsteht ein Schnittkreis

für den Schnittkreis habe ich erstmal eine Geradengleichung aufgestellt:

g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{OM} \end{eqnarray*}$ + s* $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$

den Mittelpunkt und den Normalenvektor eingestzt sodass ich später (wenn ich es Koordinatenweise aufschreibe) stehen habe:
x1= 3 + 2s
x2= 2 - s
x3= 1 + 2s

um M* (Mittelpunkt des Schnittkreises) herauszubekommen

schneiden sich g und E in diesem Punkt

d.h. ich setzte g koordinatenweise in E ein

sodass ich dann später da stehen habe

(4+2s)*2 + (2-s)*(-1)+(-1+2s)*2=0
9s=-4

s= - 4/9

wenn ich s jetzt wieder in die Geradengl. einsetze kommt für M*( 19/9 / 22/9 / 1/9 ) heraus . stimmt das?

und wenn ja . rechne ich den Radius r* aus indem

r*²= r² - $\begin{eqnarray*} \vec{(MM*)^{2} } <br /> \end{eqnarray*}$ sodass da ca 4,8 für r* herauskommt?

13.02.2012, 19:00

verwiirrtes

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RE: gegenseitige Lage Ebene und Kugel, Schnittkreis bestimmen
stimmen die Lösungswese oder muss ich anders an die Aufgabe gehen?

13.02.2012, 21:26

opi

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Deine Vorgehensweise ist richtig, Du hast allerdings hier

Zitat:

(4+2s)*2 + (2-s)*(-1)+(-1+2s)*2=0

einen Vorzeichenfehler. Da sollte eine +3 stehen. Ein s= -4/3 führt dann zu einem anderen Mittelpunkt des Schnittkreises.

14.02.2012, 07:23