Körperaxiome |
| 13.02.2012, 16:11 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Körperaxiome Hi, ich soll auf einer beliebigen zweielementigen Menge Addition und Multiplikation definieren, und zeigen, dass ein Körper ist, den man nicht anordnen kann. Meine Ideen: Das erste erledige, in dem ich einfach alle fälle Ausrechne. Bei dem zweitem habe ich ein Verständnis Problem. In der Lösung steht, dass man nicht anordnen kann da so entweder oder und wenn man nun jeweils 1 addieren würde erhielte man aus dem Monotoniegesetz einen Widerspruch. Aber wieso geht das so?? Muss nicht dadurch das ich mit den Zahlen einfach rechnen kann (was laut Lösung richtig ist) eine Zahl größer als die andere sein?? Ich bin leicht verwirrt. Wenn jemand mich aufklären könnte wäre ich ihm sehr dankbar. Mfg Edit: Irgendwie bekomme ich gerade die Mengenklammern nicht hin. |
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| 13.02.2012, 16:17 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Körperaxiome
Ein für mich unverständlicher Satz. Sieh es doch mal so: Wenn man beispielsweise voraussetzt, dann muss - und das ist ein Anordnungsaxiom, für ein Element aus K (und ich wähle hier mal die 1) auch gelten, dass die Ungleichung erhalten bleibt, wenn man es auf beiden Seiten addiert: Nun ist aber hier 1+1=0, also steht da 1<0. Voraussetzung war aber 0<1, also Widerspruch, denn beides zugleich geht ja nicht. Andersrum geht es auch schief, wenn du 1<0 setzt. |
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| 13.02.2012, 16:24 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso kann man folgern, dass 1+1=0 ist? Das ist ziemlich kurios gerade.
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| 13.02.2012, 16:25 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Körperaxiome hallo gmasterflash, ja, da kann ich dir helfen, wir sprechen hier von dem kleinsten endlichen körper, den es gibt, den nennt man Z_2 oder Z/2Z, der hat nur die elemente 0 und 1. Du kannst ja jetzt mal 2 verknüpfungstabellen entwerfen, eine für + und eine für *. Und das problem ist tatsächlich, dass man diesen körper nicht anordnen kann, weil der ja nur aus 0 und 1 besteht, denn immer, wenn man eine 1 zu einem element hinzuaddiert, passiert folgendes 0 1 0 1... weil es ja keine 2 gibt und nach der 1 wieder die 0 folgt, so das man keine fortlaufende ordnung definieren kann. So. hoff ich konnte dir weiterhelfen. gruss ollie3 |
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| 13.02.2012, 16:25 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie hast du denn gezeigt, dass es überhaupt ein Körper ist? Du sagst ja, das hättest du schon getan. In einem Körper brauchen auch alle Elemente ein additiv Inverses. Was ist das additiv Inverse der 1 in diesem Körper? |
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| 13.02.2012, 16:30 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Ollie3: Danke für deinen Beitrag jetzt habe ich es gerafft denke ich. 
@ Mulder: Ich habe wie Ollie3 sagte, eine solche Verknüpfungstafel erstellt und ausgerechnet. Das additiv Inverse der 1 müsste dann die 0 sein? Auf jeden Fall müsste ja a+(-a)=0 sein. 1+(-1)=0 aber die -1 würde ja überhaupt nicht in dem Körper drin sein. Da bleibt ja nur die 0 als Möglichkeit. Ohh man ich glaub ich bin auf dem völlig falschem Dampfer. |
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| 13.02.2012, 16:34 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hast du dann entweder falsch oder unvollständig gemacht. Wenn b das additiv Inverse zu a ist, dann muss a+b=0 sein. Wenn nun die 0 das additiv Inverse der 1 wäre, dann müsste ja 1+0=0 sein, also 1=0, was wieder Blödsinn ist, denn 0 und 1 müssen verschieden sein. Es bleibt dir also überhaupt nichts anderes übrig, als zu definieren, dass 1+1=0 ist. Die 1 ist also das additiv Inverse zu 1. Denn du hast ja nur die 0 und die 1 zur Verfügung - mehr Elemente gibt es nicht. Es war doch Teil der Aufgabe, die Addition zu definieren. Edit: Also da ollie ja anscheinend gerne mitwirken möchte, bin ich jetzt mal raus, damit diese Überschneidungen ein Ende haben. Edit2: jetzt also anscheinend doch nicht... |
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| 13.02.2012, 16:35 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo gmasterflash, lass dich nicht verunsichern, das additive inverse der 1 ist wieder die 1 selbst, denn in diesem körper ist ja 1+1=0. gruss ollie3 |
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| 13.02.2012, 16:37 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hatte das so gemacht: 0+1=1 1+0=1 also 1+0=0+1 usw. so ähnlich steht es auch im Buch. Edit: Ich glaube die Schwierigkeit ist es in den alten Mustern zu denken, das nach der 1 es noch unendlich weiter geht und so. Da bin ich ja echt froh das ich mich heute schon ein wenig damit auseinander setze. Wäre ich jetzt im Studium würde ich bestimmt bereits verzweifeln. |
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| 13.02.2012, 16:45 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist doch nur die halbe Tabelle. Was ist mit 0+0? Und was ist mit 1+1? Du solltest mal vergessen, dass es noch andere Zahlen als 0 und 1 auf dieser Welt gibt. Für uns gibt es jetzt nur die 0 und die 1. |
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| 13.02.2012, 16:50 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
0+0=0 1+1=0 ich denke ich habe es nun verstanden. In der tat liegt das Problem daran das ich die anderen Zahlen so leicht nicht ausgeblendet bekommen habe. Aber jetzt ist es doch einleuchtend was ihr meintet. Es würde also keine Rolle spielen wie ich die 2 Zahlen nennen würde, das Ergebnis bliebe immer gleich. Hätte ich aber die Menge {0,1,2} könnte ich ihn anordnen, da hier das Monotoniegesetz nicht zu einem Widerspruch führen würde. |
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| 13.02.2012, 16:53 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, könntest du nicht. |
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| 13.02.2012, 17:01 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Körper ist dann angeordnet, wenn in ihm das Trichotomiegesetz, Transitivitätsgesetz und Monotoniegesetz gilt. Kann ich diese drei Ordnungsaxiome hier nicht anwenden? Ich könnte doch 0<1, 0=0, 1>0 Dann 0<1, 1<2 ,0<2 und eben das letzte 0<1 0+1<1+1
dann habe ich das Anscheind völlig falsch interpretiert. 
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| 13.02.2012, 17:03 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du so definieren. Aber wenn ist, was ist dann mit ? Gilt das auch noch? |
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| 13.02.2012, 17:05 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein das würde dann wieder nicht gelten. Also muss ja notgedrungen eine Menge unendlich sein damit man sie anordnen kann. |
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| 13.02.2012, 17:13 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entscheidend ist ja, dass die Ordnung, die man auf der Menge definiert, mit den Verknüpfungen verträglich sein muss. Aber prinzipiell gilt in der Tat: Ein endlicher Körper kann nicht angeordnet werden. |
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| 13.02.2012, 17:14 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Ich danke dir, und Ollie3 natürlich auch, mal wieder für die kompetente Hilfe. 
Schönen Abend noch. 
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