Hauptkrümmungen & Hauptkrümmungsrichtungen

14.02.2012, 10:20	JuPee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptkrümmungen & Hauptkrümmungsrichtungen Hallo zusammen, irgendwie verstehe ich noch nicht, wie man die Hauptkrümmungen und dessen Richtungen einer Fläche ausrechnet. Habe mir artverwandte Beiträge durchgelesen, aber noch nicht richtig verstanden. Meine Aufgabe: Bestimmen Sie die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen von $\begin{eqnarray} f(u,v)=(u+v,u-v,u^{2} +v^{2} ) \end{eqnarray}$ . Meine Ergebnisse: Ich habe für diese Fläche bereits die Weingarten-Abbildung bestimmt. Diese lautet $\begin{eqnarray} L= \frac{1}{\left(2v^{2}+2u^{2} +1 \right)^{\frac{3}{2} } } \begin{pmatrix} -2v^{2}-1 & 2uv \\ 2uv & -2u^{2}-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich, dass ich die Eigenwerte und Eigenvektoren ausrechnen muss, aber wie mache ich das?
14.02.2012, 11:39	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Eigenwerte sind die Lösungen $\begin{eqnarray} \lambda_k \end{eqnarray}$ der Eigenwertgleichung $\begin{eqnarray} L\vec x_k=\lambda_k\vec x_k \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (L-E\lambda_k)\vec x_k=0 \end{eqnarray}$ . Das ist ein homogenens Gleichungsystem, das bekanntlich nur dann eine Lösung hat, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet. Berechne also diejenigen Werte $\begin{eqnarray} \lambda_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2 \end{eqnarray}$ , für die $\begin{eqnarray} \det(L-E\lambda_k)=0 \end{eqnarray}$ . Das führt auf eine quadratische Gleichung für die Hauptkrümmungen $\begin{eqnarray} \lambda_1, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_2 \end{eqnarray}$ . Setze dananch diese 2 Werte in das obige homogene Gleichungsystem $\begin{eqnarray} (L-E\lambda_k)\vec x_k=0 \end{eqnarray}$ ein und löse es. Die Lösungsvektoren sind die zugehörigen Hauptkrümmungsrichtungen.
14.02.2012, 12:39	JuPee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das konnte ich nachvollziehen. Dann erhalte ich als Eigenwerte/Hauptkrümmungen: $\begin{eqnarray} \lambda _{1}= -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda _{2}= -2v^{2}-2u^{2} -1 \end{eqnarray}$ Stimmt das?
14.02.2012, 13:21	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe aber nicht geprüft, ob die Weingartenabbildung L stimmt. Wenn aber L richtig ist, stimmen die 2 Eigenwerte. Löse nun die beiden homogenen Gleichungssysteme $\begin{eqnarray} (L-E\lambda_k)\vec x_k=\vec 0 \end{eqnarray}$ .
14.02.2012, 13:56	JuPee	Auf diesen Beitrag antworten »
L müsste stimmen. Haben das mit mehreren unabhängig voneinander ausgerechnet und es kam bei allen dasselbe raus. Habe jetzt für die Hauptkrümmungsrichtungen folgendes raus: $\begin{eqnarray} x_{1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2}=t\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{u}{v} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
14.02.2012, 14:16	JuPee	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt ist mir gerade aufgefallen, dass ich den Vorfaktor immer außen vor gelassen habe. Darf ich das einfach so machen? Beeinflusst das nicht die Berechnung der Eigenwerte?
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15.02.2012, 09:00	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vorfaktor beeinflusst im Allgemeinen die Eigenwerte. Das habe ich auch ignoriert. Also rechne die Eigenwerte nomals aus.
15.02.2012, 10:06	JuPee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich hatte es mir fast schon gedacht. Nach langer Rechnung habe ich nun folgendes erhalten: $\begin{eqnarray} \lambda _{1} = -\left(2v^{2}+2u^{2} +1 \right)^{-\frac{3}{2} } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda _{2} = -\left(2v^{2}+2u^{2} +1 \right)^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ . So müsste es stimmen, oder? Dann muss ich beim Berechnen der Eigenvektoren wahrscheinlich ebenfalls den Vorfaktor beachten?!

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