rekursive Folgen/ Beweis mittels Induktion |
| 14.02.2012, 10:26 | Givemeanswer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| rekursive Folgen/ Beweis mittels Induktion ich habe folgende aufgabe, in der es um rekursive Folgen geht: b_0=0, b_n+1= Es soll der Grenzwert ermittelt werde. Zuerst muss aber gezeigt werden, dass die Reihe konvergiert. Ich habe nun einen möglichen Grenzwert gesucht, indem ich gerechnet habe: b=(b/5)+1. Da hab ich 5/4=b heraus. Das muss dann auch gezeigt werden. Ich wollte es mit voll. Induktion beweisen. Die Behauptung, die ich aufgestellt habe ist: b_k größer als 5/4 ist. Der erste Schritt der Induktion zeigt aber, dass 0 größer als 5/4 ist und das stimmt nicht. Konvergiert die Folge also nicht? In der Klausur kommt doch eigentlich sowas nicht vor. Danke |
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| 14.02.2012, 10:29 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Vorgehensweise ist schon mal gut. Am Anfang sagt man, falls ein Grenzwert existiert, lautet er ... Das hast du ja schon gemacht. Jetzt hast du als Grenzwert eine Zahl größer null und als Startwert null. Was erwartest du, ist die Folge monoton fallend oder steigend? Am Besten fängt man meiner Meinung nach mit der Beschränktheit an. Was könnte wohl eine obere Schranke sein? |
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| 14.02.2012, 10:52 | Givemeanswer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
für monotonfallend muss man ja (b/5)+1 kleiner gleich 0 setzen. Dann kommt da b kleiner gleich -5. Demnach ist es monoton steigend oder? b muss ja -5 oder kleiner sein. Für monoton fallend muss nachfolgende immer größer werden und der ausdruck dabei immer kleiner. |
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| 14.02.2012, 10:58 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Monoton steigend. Mach dir mal anschaulich klar, warum das so ist: Du fängst bei 0 an und hörst bei 5/4 auf... Zeige nun zuerst die Beschränktheit mittels vollständiger Induktion. |
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| 14.02.2012, 11:17 | Givemeanswer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
D.h. wenn es für bn gilt, dann gilt es auch für b_n+1 Nach umformen kommt man b_n/5 +1 größer 5/4, d-h. für b_n+1 gilt es auch und es ist nach unten beschränkt |
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| 14.02.2012, 11:52 | Valdas Ivanauskas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alternativ könnte man, bei einer solch simplen Rekursionsvorschrift, die explizite Formel zunächst erraten, dann induktiv beweisen um an dieser schließlich den Grenzwert abzulesen. Hier wäre z.B.: |
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| 14.02.2012, 11:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das klingt etwas wirr. Am besten schreibst du erstmal auf, welche Behauptung du überhaupt beweisen willst. |
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| 14.02.2012, 12:20 | Givemevnswer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
behauptung: Für b_n gilt b_n ist größer 5/4. Da b_n+1 größer ist als b_n muss auch b_n+1 größer als 5/4 sein |
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| 14.02.2012, 12:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist die eigentliche Behauptung. Nur stimmt sie leider schon nicht für n=0 und n=1.
Warum sein soll, ist bislang nicht erkennbar. |
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| 14.02.2012, 13:36 | loch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo kommt diese Behauptung denn jetzt her? Und waren wir nicht soweit, dass wir nach oben abschätzen wollten. 
lässt sich sofort per Induktion zeigen. Und mit dieser Information lässt sich auch direkt zeigen, womit alles gezeigt ist. |
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| 14.02.2012, 20:16 | Givemeanswer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man muss nach oben beschränkt zeigen, da es es monoton steigt. also das heißt wenn b_n kleiner als 5/4 ist, dann auch b_n+1, da 5/4 nicht erecht wird.? Ich habs noch nicht ganz verstanden. |
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| 15.02.2012, 08:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Grundidee ist, folgende Eigenschaften zu zeigen: 1. Die Folge ist nach oben mit 5/4 beschränkt, das heißt, es gilt . 2. Die Folge ist monoton steigend. Punkt 1 kannst du leicht mit vollständiger Induktion beweisen. |
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| 16.02.2012, 11:38 | Givemeanswer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das mit Induktion beweisen wollte ich doch, aber irgendwie meint ihr ja, dass ich das nicht richtig gemacht habe. Mit Induktion wäre doch meine Behauptung b_n ist kleiner 5/4. Und um das zu beweisen muss man doch für n+1 beweisen oder nicht, also dass die Behauptung auch für b_n+1 gilt. b_n ________________kleiner 5/4_____ Rechnung: durch 5 b_n/5_______________kleiner 1/4_____ Rechnung: +1 (b_n/5) + 1__________kleiner 5/4 das ist b_n+1 Jetzt kommt das was ich oben gemeint habe: Nach Induktion gilt wenn es für b_n gilt, dann muss es auch für b_n+1 gelten. So wird es doch mit Induktion bewiesen |
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| 16.02.2012, 12:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Beweis ist jetzt ok. Ich weiß allerdings nicht, was du mit "oben" meinst. Das einzige, was ich sehe, ist dies:
und das ist falsch. Nun denn, jetzt mußt du noch zeigen, daß die Folge monoton steigt. |
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